2023_10_25_01_ТАУ_лекция_01

Алгебраические критерии устойчивости

•Критерий А. Гурвица (A. Hurwitz, 1895 г.)

•По специальному правилу из коэффициентов характеристического уравнения составляется n матриц (n-порядок характеристического уравнения)

•Вычисляются значения определителей составленных матриц

•Если все коэффициенты характеристического уравнения и все определители имеют положительные значения, то система управления устойчива

•Критерий применим как к разомкнутым, так и замкнутым системам управления

•Критерий А. Гурвица целесообразно применять для систем уравнений не выше пятого порядка, иначе вычисления становятся очень громоздкими

Алгебраические критерии устойчивости

•Критерий Э. Рауса (E.J. Routh, 1877 г.)

•По специальному правилу из коэффициентов характеристического уравнения составляется таблица (порядок таблицы n+1, где n – порядок характеристического уравнения)

•Определяются знаки коэффициентов первого столбца таблицы

•Если все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то система управления устойчива

•Критерий применим как к разомкнутым, так и замкнутым системам управления

•Алгоритм вычислений коэффициентов таблицы легко

программируется и поэтому критерий Рауса применим для анализа систем высокого порядка (n 5) на ЭВМ

Частотные критерии устойчивости

•Критерий А.В. Михайлова (“Гармонический метод в теории регулирования”, 1936 г.)

•В характеристическое уравнение вместо комплексного переменного p = + j подставляется чисто мнимая величина j , полученное выражение называется характеристическим полиномом

F(j ) = A0(j )n + A1(j ) n-1 + …+An-1(j )+ An = P( ) + jQ( )

•Изменяя величину от нуля до бесконечности на комплексной плоскости строится годограф Михайлова

Частотные критерии устойчивости

•Критерий А.В. Михайлова (“Гармонический метод в теории регулирования”, 1936 г.)

•Годограф Михайлова

•Линейная система управления,

описываемая уравнением n-го

порядка, устойчива, если при

изменении от нуля до бесконечности

характеристический вектор системы An F(j ) повернётся против часовой

стрелки на угол n /2, не обращаясь при этом в нуль

Критерии Гурвица, Рауса и Михайлова

•Критерии Гурвица, Рауса и Михайлова основаны на анализе характеристического уравнения

•Для применения критериев Гурвица, Рауса и Михайлова необходимо характеристическое уравнение, что не всегда возможно

•Как быть, если характеристическое уравнение недоступно?

Критерий Найквиста

•Х. Найквист (H. Nyquist, 1932 г.)

•На комплексной плоскости строится амплитудно-фазовая

характеристика разомкнутого контура системы управления (передаточная функция Wраз(j ))

•Замкнутая система управления устойчива, если амплитуднофазовая характеристика разомкнутой системы Wраз(j ) не

охватывает точку (-1, j0)

Логарифмический критерий Найквиста

•Замкнутая система управления будет устойчивой, если при

достижении фазовой частотной характеристики значения - 180 логарифмическая амплитудная характеристика будет отрицательной

L ( ) = 20 lg ( Wраз(j ) )

( ) = arctg(Im(Wраз(j )/Re(Wраз(j )))

Критерий Найквиста

•Х. Найквист (H. Nyquist, 1932 г.)

•Если характеристическое уравнение недоступно (например, имеются только экспериментальные данные по системе управления), то критерий Найквиста является единственной возможностью анализа устойчивости