2023_10_25_01_ТАУ_лекция_01

Причины неустойчивости замкнутых систем

•Неправильное воздействие обратной связи (отрицательная обратная связь становится положительной) – статическая неустойчивость

•Авария РН “Протон-М” 2 июля 2013 г. на 12,733 с полёта. Причина - неправильная установка датчиков угловых скоростей по каналу рыскания

•Значительная инерционность замкнутого контура

•При возникновении колебаний (это неизбежно) сигнал обратной связи существенно отстаёт от входного сигнала и оказывается в фазе с ним. Обратная связь (отрицательная в статическом режиме) в динамике проявляется как положительная

Устойчивость. Формулировка

• Уравнение вынужденных колебаний

• Уравнение свободных колебаний

0

Устойчивость. Формулировка

•Система является устойчивой, если свободная составляющая y(t) переходного процесса с течением

времени стремится к нулю, то есть

•Если же на систему действует внешнее воздействие, то

выходной сигнал будет стремиться к вынужденной

составляющей. Устойчивость будет асимптотической

•Если свободная составляющая неограниченно возрастает,

то система неустойчива

•Если выходной сигнал не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости

Характеристическое уравнение

• Преобразование уравнения свободных колебаний

0

•с учётом

•получаем характеристическое уравнение

A0pn + A1pn-1 + … +An-1p + An = 0

Корни характеристического уравнения

• Характеристическое уравнение

A0pn + A1pn-1 + … +An-1p + An = 0

•Принимая во внимание, что p = + j , корни

характеристического уравнения могут быть

•действительными (p = ),

•мнимыми (p = j ) и

•комплексными (p = j ),

•Они (корни характеристического уравнения) могут быть изображены на комплЕксной плоскости

Корни характеристического уравнения

• Корни характеристического уравнения на комплЕксной

Условие устойчивости

•Для устойчивости линейной системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными

•Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, система управления будет неустойчивой

•Если имеется одна пара чисто мнимых корней, а остальные корни

находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой = k, система находится на колебательной границе устойчивости, а - критическая частота колебаний

•Если =0 и =0 (“нулевой корень”), то система находится на аперидической границе устойчивости. Если “нулевых корней” два, то система неустойчива

Теорема А.М. Ляпунова

•Линейные уравнения получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений

•А.М. Ляпунов (докторская диссертация “Общая задача об устойчивости движения”, 1882 г.):

•Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней,

то судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному

уравнению нельзя

•Таким образом, для суждения об устойчивости линейной системы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения

Критерии устойчивости

•Решение характеристического уравнения может быть затруднительным (фактически, всегда затруднительно)

•Поэтому применяются ряд правил (“критериев устойчивости”), позволяющих без решения характеристического уравнения судить о знаках корней этого

уравнения

•Простейший критерий: коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны

•Этот критерий необходимый, но не достаточный, то есть при всех положительных коэффициентах система может устойчивой или неустойчивой

•Если хотя бы один коэффициент отрицателен, то система определённо неустойчива

Критерии устойчивости

•Типы критериев устойчивости

•Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определённые комбинации коэффциентов характеристического уравнения

•Частотные критерии определяют связь между устойчивостью

системы и формой частотных характеристик системы