MSCPATRAN2014
.PDF
Рис 3.2. Конечноэлементная модель с локальными системами координат
Вар. |
L1 |
L2 |
L3 |
Вар. |
L1 |
L2 |
L3 |
Вар. |
L1 |
L2 |
L3 |
(м) |
(м) |
(м) |
(м) |
(м) |
(м) |
(м) |
(м) |
(м) |
|||
|
×10−2 |
×10−2 |
×10−2 |
|
×10−2 |
×10−2 |
×10−2 |
|
×10−2 |
×10−2 |
×10−2 |
1 |
43 |
64 |
47 |
10 |
52 |
65 |
40 |
19 |
52 |
68 |
44 |
2 |
45 |
69 |
53 |
11 |
34 |
51 |
39 |
20 |
57 |
69 |
40 |
3 |
41 |
59 |
43 |
12 |
42 |
70 |
56 |
21 |
52 |
70 |
47 |
4 |
44 |
67 |
51 |
13 |
49 |
72 |
53 |
22 |
31 |
48 |
36 |
5 |
43 |
73 |
59 |
14 |
58 |
77 |
51 |
23 |
44 |
70 |
54 |
6 |
45 |
71 |
55 |
15 |
45 |
63 |
44 |
24 |
39 |
51 |
32 |
7 |
43 |
59 |
40 |
16 |
49 |
61 |
36 |
25 |
56 |
76 |
51 |
8 |
36 |
54 |
40 |
17 |
49 |
59 |
33 |
26 |
38 |
52 |
36 |
9 |
31 |
58 |
49 |
18 |
48 |
77 |
60 |
27 |
42 |
66 |
51 |
Табл 3.1. Варианты длин элементов фермы
В первой задаче моделируется деформация системы под действием горизонтальной силы F1 и вертикальной силы F2 , приложенных к соединительному шарниру 3 (рисунок 3.1 a). Во второй задаче моделируется температурная деформация системы под воздействием нагрева горизонтального элемента на T1 (рисунок 3.1 b).
Числовые значения прикладываемых сил в первой задаче и величина нагрева элемента во второй известны,
F = 20 000 Н, |
F = 30 000 Н, |
T = 200 0C |
(0.29) |
1 |
2 |
1 |
|
Стержневой системе сопоставляется ее конечноэлементная модель (рисунок 3.2.), состоящая из трех конечных элементов (I,II,III), соединяющих узлы 1-2, 2-3 и 1-3. Введены три локальные оси координат X I , X II , X III , связанные с конечными элементами.
31
Рис 3.3. Трехэлементная модель стержневой системы в MSC Patran
3.3.Порядок выполнения работы.
В первой задаче моделируется деформированное состояние стержневой системы, вызванное внешней нагрузкой F1, F2 (рисунок 3.2). Во второй задаче рассматривается температурная деформация системы под действием нагрева первого стержня на величину TI . Стержневая система моделируется в MSC.Patran|Nastran конечными элементами типа Rod.
Выбор согласованной системы единиц измерения.
В этой работе применяется согласованная система единиц СИ («iso_SI»): силы задаются в Ньютонах, длины - в метрах, модуль Юнга - в Паскалях.
Моделирование силовых деформаций системы
1.Построение конечноэлементной модели стержневой системы
Вданной работе модель объекта задается в конечноэлементном представлении, без предварительного построения его геометрической модели.
Построим модель фермы в плоскости XY глобальной системы отсчета XYZ, причем ось X направим вдоль первого стержня. Построение будем производить согласно трехэлементной одномерной стержневой модели, показанной на рисунке 3.2. Для этого в меню Elements|Create|Element|Edit выберем форму элементов Shape: «Bar», а в полях ввода Node 1 и Node 2 введем координаты начальных и конечных узлов каждого из трех
элементов, а именно зададим в Node 1 : [0,0,0], [ L1 ,0,0],[0,0,0], Node 2 : [ L1 ,0,0], [0, −L3 ,0], [0, −L3 ,0].
32
а)
b)
Рис 3.4. Решаемая задача (a) и ее компьютерная конечноэлементная модель (b) в MSC.Patran|Nastran
Общие узлы объединим при помощи команды Elements|Equivalence. В результате получаем трехэлементное представление модели фермы в MSC.Patran (рисунок 3.3). На рисунке три узла отмечены маркерами и соединены тремя элементами. Нумерацию узлов можно редактировать в меню Elements|Modify|Node|Edit.
2. Задание граничных условий и приложение нагрузок
Закреплению в цилиндрическом шарнире соответствуют нулевые значения векторов линейных перемещений Translations <T1 T2 T3>=<0,0,0> в меню граничных условий Loads/BC|Displacemet|Nodal|InputData. Областью приложения задаваемых граничных условий является узел Node 1 модели, область приложения задается в подменю SelectApplicationRegion. Аналогично задается опора на каток в третьем узле при Translations <T1 T2 T3>=<0,,0>.
Приложенные силы задаются в меню Loads/BC|Force|Nodal проекциями на координатные оси глобальной системы координат < Fx , Fy , Fz > . В данном примере необходимо задать две силы < F1 , 0, 0> и <
0, - F2 ,0>, приложенные к узлу 2 (Node 2) конечноэлементной модели. Компьютерная модель с заданными граничными условиями и приложенной нагрузкой примет вид, показанный на рисунке 3.4.
3. Моделирование материалов.
Из главного меню программы перейдем в библиотеку материалов
Utilites|Materials|MaterialSessionFileLibrary и выберем материал в соответствующей системе единиц.
33
Рис 3.5. Перемещения узлов (мм) модели в MSC.Patran с векторной формой вывода результатов
Рис 3.6. Приложенные силы и реакции опор
Для алюминиевого стержня в системе единиц СИ (мм-Н-тонны), необходимо выбрать из списка материал «duraluminium-iso-SI». Значения констант выбранного библиотечного материала можно проконтролировать, дважды кликнув по его названию. Библиотечное значение модуля нормальной упругости дюралюминия равно E = 7,1·1010 Па, коэффициент
34
Пуассона ν = 0.3 , коэффициент температурного расширения α = 2,310·−5
C−1.
a)
b)
Рис 3.7 Решаемая задача (a) и ее компьютерная конечноэлементная модель в MSC.Patran|Nastran (b)
Задание типа и свойств конечных элементов.
Для моделирования продольных деформаций элементов фермы применим стержневой тип Rod. Все элементы системы имеют одинаковую площадь поперечного сечения и изготовлены из одного материала, поэтому в MSC.Patran достаточно создать одно свойство и распространим его на все элементы системы. В меню Properties|Create|1D|Rod поле ввода
«Area» введем площадь поперечного сечения A = 2·10−4 м2 , а в поле ввода «Material Name» выберем заданную ранее модель материала: «duraluminium_iso_SI», после чего присвоим созданное свойство всем трем конечным элементам системы.
4.Процессорная обработка модели в MSC.Nastran и передача результатов для обработки постпроцессором
Вданном примере производится статический расчет модели
Analysis|SolutionType|LinearStatic. Для получения сил реакций опор системы в меню Analysis|Analys|Subcases|OutputRequests необходимо выбрать дополнительный расчет GridPointFourceBalance. Статический расчет производится в меню Analysis|Analys|EntireModel|FullRun нажатием кнопки «Аpply».
Передача результатов анализа для их постпроцессорной обработки в MSC.Patran производится нажатием кнопки «Аpply» в меню
Analysis|AccessResults|AttachXDB|ResultsEntities.
35
Рис 3.8 Векторное представление температурных деформаций (мм) системы
5. Постпроцессорная обработка. Вывод результатов статического расчета.
На рисунке 3.5 показана исходная и деформированная системы, полученные в Results|Create|QuickPlot, при этом деформации элементов показаны также градиентной заливкой. Матрицы-столбцы числовых значений перемещений
узлов по трем осям координат глобальной системы показаны на рисунке при омощи меню Results|Create|Cursor|Vector. Реакции опор системы, показанные на рисунке 3.6 строятся при помощи меню Results|Create|Freebody|Loads. Полученные рисунки необходимо сохранить командой File|Images главного меню программы. и предоставить преподавателю в отчете по работе.
Моделирование температурных деформаций системы
Рассмотрим вторую задачу лабораторной работы. Освободим систему от приложенной силовой нагрузки F1, F2 и рассмотрим ее деформацию под действием температурного удлинения горизонтального элемента I нагретого на T (рисунок 3.2). Изменим компьютерную модель стержневой системы в соответствии с изменением нагрузки.
4.Изменение приложенных нагрузок
Вменю Loads.BCs/Delete/Force выберем заданные ранее силы и удалим их нажатием кнопки «Apply>. В меню Create|Temperature|ElementUniform
выберем TargetElementType: 1D, зададим в поле ввода температуру Temperature: 200 и применим к горизонтальному конечному элементу I. Аналогично необходимо задать нулевую температуру конечным элементам II и III. Полученная нагруженная модель показана на рисунке
36
3.7, где окружностями показаны приложенные к элементам моменты температурные воздействия.
5. Процессорная и постпроцессорная обработка модели
Процессорная обработка модели системы с температурным воздействием полностью повторяет изложенный выше алгоритм для системы с силовым воздействием. А именно, произведем расчет модели:
Analysis|Analys|EntireModel|FullRun, перезаписав полученные ранее файлы расчета предыдущей задачи, после чего полученные результаты применить к модели Analysis|AccessResults|AttachXDB|ResultsEntities.
Результаты расчета необходимо отобразить в векторном виде (см.
рисунок 3.8) выбрав в меню Results|Create|Marker|Vector параметр
DisplacementTranslational. Рисунок необходимо сохранить и использовать
вотчете по работе.
3.4.Верификационные расчеты
Рис 3.9. Стержневой элемент в глобальной системе координат
Матрица жесткости Ke стержневого конечного элемента, ось координат x e которого составляет с осью x глобальной системы координат угол ϕe (рисунок 3.9) имеет вид
2i −1 2i 2 j − 1 2 j
Ke =
при обозначениях c =
c2
EA
L sc e −c2−sc
cosϕe ,
sc |
−c2 |
−sc 2i − 1 |
|
|
||||
s |
2 |
−sc |
−s |
2 |
|
2i |
, |
(0.30) |
|
|
|
||||||
−sc |
c2 |
sc |
|
2 j − 1 |
|
|
||
−s2 |
sc |
s2 |
|
|
2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s = sinϕe . В формуле (0.30) строки и столбцы
матрицы жесткости конечного элемента пронумерованы в соответствии с номером i начального узла элемента и номером j конечного узла.
37
По конечноэлементной модели системы (рисунок 3.10) составляется таблица соответствия номеров узлов и соединяющих их элементов
(таблица 3.2.).
Рис 3.10. Приложенные силы, глобальная система координат 1xy и узловые перемещения ui в ней
Конечные |
|
Узлы |
|
элементы |
i |
|
j |
I |
1 |
|
2 |
II |
2 |
|
3 |
III |
1 |
|
3 |
Табл. 3.2. Таблица элементов и узлов
Из рисунка 3.10. следует, что локальная ось XIII третьего элемента
образует с осью X глобальной системы координат угол |
ϕIII |
= −π / 2 , а |
|||||||||||||
локальная ось первого конечного элемента |
совпадает |
ней, |
ϕI = 0 . |
||||||||||||
Подставляя углы ϕI ,ϕIII |
в матрицу (0.30), получаем матрицы жесткости |
||||||||||||||
первого и третьего конечных элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
k I |
0 |
−k I |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
||
K I = |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
, K III = 0 |
k III |
0 |
−k III |
2 |
, |
(0.31) |
|||
|
−k I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k I |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
−k |
III |
0 |
k |
III |
|
6 |
|
|
0 0 0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
38
где k I = |
EAI |
, |
k III = |
EAIII |
. Второй конечный элемент образует с осью X |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
LI |
|
|
LIII |
|
|
|
|
|
|
|
|
глобальной системы координат угол ϕII |
= π + arccos(L1 / L2 ) . Подставляя |
|||||||||||
значение угла |
ϕII в матрицу |
(0.30), |
вычисляем |
числовые |
значения |
|||||||
элементов k II |
матрицы жесткости второго элемента |
|
|
|||||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k II |
k II |
k II |
k II |
|
3 |
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
II |
II |
II |
II |
4 |
, |
(0.32) |
|
|
|
|
|
KII = k21 |
k22 |
k23 |
k24 |
|
||||
|
|
|
|
|
k II |
k II |
k II |
k II |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k41II |
k42II |
k43II |
k44II |
|
6 |
|
|
В результате объединения (ансамблирования) матриц жесткости трех конечных стержневых элементов составлена глобальная матрица жесткости K системы вида
|
|
I |
0 |
−k |
I |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
k III |
0 |
|
0 |
0 |
−k III |
|
|
||
−k I |
0 |
k I + k II |
k II |
k II |
|
k II |
|
|
|||
K = |
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
14 |
, |
(0.33) |
0 |
0 |
k21II |
k22II |
k23II |
|
k24II |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
k II |
|
k II |
k II |
|
k II |
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
34 |
|
|
|
0 |
−k III |
k II |
|
k II |
k II |
k II |
+ k III |
|
|||
|
|
|
|
41 |
42 |
43 |
44 |
|
|
|
|
Система шести алгебраических уравнений, определяющих деформацию стержневой системы под действием приложенных сил, имеет вид
u1u2
u
KU=F, где U= 3 ,
u4
u5u6
|
X1` |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
F |
|
(0.34) |
|
F = |
1 |
, |
||
|
−F |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
здесь K - глобальная матрица жесткости (0.33) системы, u1,…,u6 - горизонтальные и вертикальные перемещения узлов системы, X1,Y1, X 3 - неизвестные реакции опор, F1, F2 - приложенные силы (рисунок 3.10), . Опоры в первом и третьем узлах обуславливают следующие нулевые граничные условия: u1 = u2 = u5 = 0
Подставляя граничные условия в (0.34), получим систему шести уравнений
39
|
−k I |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
k I + k II |
k II |
||
|
11 |
12 |
|
k21II |
k22II |
||
|
|||
|
II |
II |
|
|
k31 |
k32 |
|
k II |
k II |
||
|
|||
|
41 |
42 |
|
|
0 |
|
|
|
|
X1` |
|
|
||
−k III |
|
u |
|
|
Y |
|
|
|
||
|
k14II |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
F1 |
|
|
|||
|
II |
|
u4 |
= |
−F2 |
|
(0.35) |
|||
|
k24 |
|
u |
|
|
|
, |
|||
|
k II |
|
|
6 |
|
|
X |
|
|
|
k II |
34 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+ k III |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
которую можно разделить на две подсистемы
k I + k11II |
|
||
|
k21II |
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
k41 |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
−k |
|
|
|
|
0 |
|
|
k II |
|
|
|
|
31 |
|
k12II |
k14II |
|
u3 |
|
|
F1 |
|
|||||
k II |
k II |
|
|
u |
|
|
= |
−F |
|
|||
22 |
24 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
||
k II |
k II + k III |
u |
6 |
|
|
|
0 |
|
||||
42 |
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
u |
|
|
|
X |
|
|
|
|||
0 |
−k III |
u3 |
|
= Y1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
k II |
k II |
u |
|
|
|
X |
|
|
|
|
||
32 |
34 |
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
(0.36)
(0.37)
Из системы (0.36) находится вектор-столбец неизвестных перемещений узлов (u3 , u4 , u6 )
u |
|
k I |
|
|
3 |
|
|
u4 |
= |
||
u |
6 |
|
|
|
|
|
|
+ k11II k21II k41II
k12II |
|
k14II |
−1 |
F1 |
|
|
|
k II |
|
k II |
|
−F |
|
(0.38) |
|
22 |
|
24 |
|
|
2 |
|
|
k II |
k II |
+ k III |
|
0 |
|
|
|
42 |
44 |
|
|
|
|
|
|
найденные значения подставляются в систему (0.37) из которой находятся неизвестные реакции опор ( X1, Y1, X 3 ) .
Полученные верификационные значения узловых перемещений (u3 , u4 , u6 ) и реакций опор ( X1, Y1, X 3 ) необходимо сравнить с результатами компьютерного моделирования (рисунки 3.5, 3.7).
Верификационный расчет температурных деформаций
Температурное действие на систему, приводящее к деформациям расширения при нагреве или к деформациям сжатия при охлаждении в методе конечных элементов заменяется эквивалентным силовым воздействием, прикладываемым к узлам. Для одномерного элемента в плоскости (рисунок 3.7) вектор-столбец проекций эквивалентных сил имеет вид
40