Пример применения теоремы Кастилиано (метод фиктивной силы)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
x |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
M Z M PФ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
M P |
x 2 dx |
|
|
1 M 2 L |
|
MP |
|
L2 |
|
P 2 |
L3 |
|||||||||||
U |
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
Ф |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
L |
|
|
2 EI Z |
|
|
|
2 EI Z |
|
|
2 EI Z |
|
6 EI Z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
ML 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
2 EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
P |
0 |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О тм ери м , ч то м ож н о д и ф ф ерен ц и ровать и п о д зн аком и н теграла.
Интеграл Мора
Ф
А
N |
N |
X |
N Ф ; |
NФ N |
Ф ; |
|
X |
|
|
X |
X |
X1 |
|
M X |
M X M ФX ; |
MФX M X1Ф; |
||||
M Y |
M Y M YФ ; |
MYФ MY1Ф; |
||||
M Z |
M Z M ZФ ; |
MZФ MZ1Ф, |
||||
где NX1 , МX1 , |
МY1 и |
МZ1 - внутренние силовые факторы от |
||||
безразмерной единичной силы Ф = 1.
Интеграл Мора (продолжение)
U |
|
N X |
N 1 X Ф 2 |
dx |
|
|
M X M X 1 |
Ф 2 dx |
... |
|||
|
2 EF |
|
2 GI p |
|
|
|||||||
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
||
|
|
M |
Y M 1Y Ф 2 dx |
|
|
|
M |
Z M Z 1Ф 2 dx |
|
|||
|
|
2 EI Y |
|
|
2 EI Z |
|
|
|
||||
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|||
|
|
U |
|
|
N |
X |
N |
1 |
X |
dx |
|
|
M |
X |
M |
1 X |
dx |
... |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ф |
|
|
2 EF |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ф 0 |
L |
|
|
|
|
|
L |
|
2 GI p |
|
|
|||||
|
M Y M 1Y dx |
|
M Z M 1 Z dx |
|
2 EI Y |
2 EI Z |
|||
L |
L |
|
|
Применение интеграла Мора |
||||||||||
З а д а ч а . Н а й т и у г о л п о в о р о т а с е ч е н и я в т о ч к е А |
и п р о г и б в т о ч к е В |
|||||||||||
М 1 |
|
|
R 1 |
|
|
P |
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
a |
|
3 |
a |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
1 |
m |
|
|
|
|
E |
2 |
10 |
5 |
MPa |
|
P |
100 |
|
kN |
|
|
|
q |
100 |
|
kN |
m |
1 |
M1 |
|
100 |
kN |
m |
|
|
M2 |
|
2 |
M1 |
|
|
Применение интеграла Мора
• Определим опорные реакции
• Отметим, что M1=Pa, M2=2M1, тогда R2=-P/2
и R1=7P/2, то есть
Применение интеграла Мора (продолжение 1)
Найдем опорные реакции |
|
|
Given |
|
|
R1 R2 P q 2 a 0 |
|
|
M1 q 2 a 4 a |
R1 4 a |
P 3 a M2 0 |
R1
Find(R1 R2)
R2
R1 350 kN |
R2 50 kN |
Применение интеграла Мора (продолжение 2)
З а п и ш е м ф у н к ц и ю и з ги б а ю щ и х м о м е н т о в о т в н е ш н и х с и л
M |
z |
( x ) |
|
|
M1 |
|
q |
x2 |
|
|
|
if 0 |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M1 |
|
q |
x2 |
|
|
|
|
R1 ( x |
|
|
|
|
|
|
a ) if a |
|
x 2 a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
M1 |
|
q 2 a ( x |
|
a ) |
|
|
|
|
R1 ( x |
|
|
a ) |
|
P ( x |
|
2 a ) |
if 2 a |
|
x |
|
5 a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Изгибающиймомент, кН.м
|
200 |
|
200 |
|
|
|
|
|
|
Эпюра изгибающих моментов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M z( x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
kN m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
150 |
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координата сечения, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Применение интеграла Мора (продолжение 3)
Н айдем угол поворота сечения в точке А , прилож ив в этой точке единичны й изгибаю щ ий момент
Rm1 |
Rm2 |
|
1 |
|
B |
0 |
|
А |
х |
|
|
||
a |
a |
3a |
|
Определим опорные реакции
Given
|
|
|
|
Rm1 |
|
|
|
Rm2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Rm1 |
|
|
|
Rm1 4 a |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Find(Rm1 Rm2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Rm2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm1 0.25 |
|
1 |
|
Rm2 |
|
0.25 |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применение интеграла Мора (продолжение 4)
Запишем функцию изгибающих моментов и построим соответствующую
эпюру
Изгибабщий момент
1 |
|
1 |
Эпюра изгибающих моментов |
|
|
|
Mm z( x )
0.5
0
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
Координата сечения, м
Угол поворота сечения в точке А равен |
|
||||||
5 |
a |
|
(x) Mm |
|
( x) |
|
|
|
M |
z |
z |
|
|||
A |
|
|
|
dx |
A 0.273 deg |
||
|
|
E I |
z |
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение интеграла Мора (продолжение 5)
Найдем прогиб в точке В, приложив в этой точке единичную силу
Rp1 |
Rp2 |
1
0 |
B |
А |
х |
|
|||
a |
a |
3a |
|
Определим опорные реакции
Given
Rp1 Rp2 1
0
Rp14a 13a
0
Rp1
FindRp1Rp2()
Rp2
Rp1 0.75 Rp2 0.25