Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 10

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

458.2 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 10. Векторное поле. Поток векторного поля. Вычисление потока векторного поля

Лекция 10

Векторное поле и поток векторного поля

1. Векторное поле

Определение 1. Пусть в каждой точке M области D некоторого пространства определена векторная величина a (M ) . В данном случае говорят, что в области


D задано векторное поле a .
	Рассмотрим пространство трех переменных со связанной с ним
декартовой системой координат Oxyz . В точке						M x, y, z	области
DOxyz векторное поле a , как правило, задается следующим образом:
	a (M ) P x, y, z
	a (M ) P x, y, z	i	Q(x, y, z)	j	R(x, y, z)k ,		(1)
где	функции трех переменных P x, y, z , Q(x, y, z), R(x, y, z)						называют
компонентами векторного поля.

Определение 2. Векторной линией поля называется кривая, в каждой точке которой вектор a направлен по касательной к данной кривой.

Примерами векторных линий в физике являются силовые линии

гравитационного, электрического и магнитного полей.

Пусть уравнение векторной линии задано параметрически в виде

r (t) x t

y t

z(t)k .

(2)

Соответствующий вектор касательных к векторной линии будет иметь вид

t r (t) x t i

y t j z (t)k .

(3)

По определению векторной линии

вектор

должен быть

коллинеарен

вектору a , тогда выполняется условие

x t

y t

z t

(4)

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

Причем величина может быть константой или любой дифференцируемой функцией от величин x, y, z,t .

Из (4) имеем систему дифференциальных уравнений:

P x, y, z ,

(5)

Q x, y, z ,

(6)

R x, y, z .

(7)

Для поиска векторной линии поля a , проходящей через заданную точку

M0 x0 , y0 , z0 ,

дифференциальные уравнения

(5-7) решают,

используя

начальные условия y x0 y0 ;

z x0 z0 .

Пример1.

Найти

векторные

линии

поля

a (M ) z y

x z

y x k .

Решение: Пусть const .

z y ,

x z ,

y x .

Откуда, сложив все три уравнения, получим

d x y z 0 ; dt

d x y z 0dt ;

Получим решение

x y z С1 const .

Умножим уравнения на x , y , z , после чего сложим. В результате получим

d x2 y2 z2 0; dt

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

d x2 y2 z2 0dt ;

Откуда получим

x2 y2 z2 С2 const .

Тогда семейство векторных линий для данного векторного поля имеет вид

x y z С1 const,

x2 y2 z2 С2 const.

	2. Поток векторного поля
В	некоторой области пространства	рассмотрим	векторное поле
a (M )	и кусочно-гладкую ориентированную	замкнутую	поверхность .
Рассмотрим также поле единичных нормалей		n 0 M на выбранной стороне
поверхности .
Определение 3. Потоком П векторного поля		a (M ) через ориентированную

поверхность называется поверхностный интеграл по дифференциалу площади поверхности от проекции векторного поля a (M ) на нормаль n 0 M к поверхности , т.е.

		n			a, n 0
П	Пр		a	d	a, n 0	d .	(8)

Физическая интерпретация	потока.			Рассмотрим		стационарное	движение

жидкости в трехмерном пространстве с полем скоростей v (M ) . Поставим

задачу вычислить объем жидкости, проходящий через поверхность в
определенном направлении за интервал времени t см. рис.1.
Объем dV жидкости, протекающей через элемент d поверхности	,
приближенно равен объему цилиндра с основанием d и высотой Прn v t
dV Прn v t d v , n 0 t d .	(9)

Тогда через всю поверхность за время t протечет объем жидкости равный

V t v , n 0 d .	(10)

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

За единицу времени через всю поверхность протечет объем жидкости равный

V v , n 0 d .	(11)

Таким образом, физический смысл потока состоит в том, что при интерпретации векторного поля a (M ) как поля скоростей стационарной жидкости в

трехмерном пространстве, поток данного поля через поверхность есть объем жидкости, проходящей через данную поверхность в единицу времени.

n 0

Рис.1.

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

можно

Основные свойства потока векторного поля:

1.С изменением ориентации поверхности (с изменением ориентации вектора нормали к поверхности) поток меняет знак на противоположный, т.е.

a, n 0		a,n 0
a, n 0	d	a,n 0	d .	(12)

2.Линейность потока

a, n 0

, n 0

d ,

(13)

где , const .

3.Аддитивность потока

a, n 0			a, n 0			a, n 0
a, n 0	d		a, n 0	d		a, n 0	d .	(14)
		1			2

где 1 , 2 - два непересекающихся (но имеющих общую границу) гладких фрагмента поверхности , формирующие всю поверхность .

3.Вычисление потока векторного поля

Для вычисления потока векторного поля через поверхность использовать следующие способы:

-метод проектирования на одну координатную плоскость;

-метод проектирования на три координатные плоскости;

-метод использования криволинейных координат;

-теорему Остроградского-Гаусса.

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

3.1.Вычисление потока векторного поля методом проектирования на одну координатную плоскость

Пусть незамкнутая ограниченная поверхность задается в явном виде

уравнением z z x, y

проектируется на

плоскость

Oxy в область

Doxy .

Тогда для дифференциала площади поверхности d

и дифференциала

области ds dxdy ранее установлена взаимосвязь

dxdy

(15)

cos

cos x, y

где

cos

(16)

z x, y 2

z x, y

В этом случае поток векторного поля вычисляется по формуле

a, n 0

a, n

dxdy ,

cos

где

Oxy

z z ( x, y )

j k

x, y

n 0

x, y

z x, y 2

(17)

(18)

Для определения знака вектора единичной нормали	n 0 используется
следующее правило: если угол x, y между положительным направлением
оси Oz и вектором n 0 в точке x, y, z(x, y) поверхности	острый, то в

формуле (18) берется знак плюс; если данный угол тупой, то берется знак минус.

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

Для удобства запоминания формулы (18) используется следующий вариант с использованием оператора градиента скалярного поля.

n 0

grad z z(x, y)

(19)

grad z z(x, y)

grad f (x, y, z) f

где

k .

Пусть незамкнутая ограниченная поверхность задается в явном виде

уравнением

x x y, z

проектируется на

плоскость Oyz в область Doyz .

Тогда для

дифференциала

площади

поверхности

дифференциала

области ds dydz ранее установлена взаимосвязь

dydz

(20)

cos

cos y, z

где

cos

(21)

x y, z 2

В этом случае поток векторного поля вычисляется по формуле

a, n

a, n 0

dydz ,

(22)

cos

где

Oyz

x x( y,z )

n 0

grad

x x( y, z)

(23)

grad x x( y, z)

Для определения знака вектора единичной

нормали

n 0 используется

следующее правило: если угол

y, z между

положительным

направлением оси Ox

вектором

n 0 в

точке

x y, z

, y, z поверхности

острый, то в формуле (23) берется знак плюс; если данный угол тупой, то берется знак минус.

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

Пусть незамкнутая ограниченная поверхность задается в явном виде

уравнением y y

x, z

и проектируется

на

плоскость

Oxz в область Doxz .

Тогда для дифференциала площади поверхности

дифференциала

области ds dxdz ранее установлена взаимосвязь

dxdz

(24)

cos

cos y, z

где

cos

(25)

y x, z 2

В этом случае поток векторного поля вычисляется по формуле

a, n

0 d

a, n

dxdz ,

(26)

cos

где

Oxz

y ( x,z )

n 0

grad y y(x, z)

(27)

grad y y(x, z)

Для определения знака вектора единичной

нормали

n 0 используется

следующее правило: если угол

x, z между

положительным

направлением оси

вектором

n 0 в

точке

x, y x, z

, z поверхности

острый, то в формуле (27) берется знак плюс; если данный угол тупой, то берется знак минус.

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

Пример 2. Найти поток векторного поля a yi xj zk через часть поверхности параболоида z x2 y2 для условия 0 z 1 (нормаль внешняя).

Решение:

Используем формулы (15-18) для поверхности, заданной в явной форме

z z x, y .

Тогда

grad z x2

n 0

2xi

2 yj k

;

grad z x2

4x2 4 y2 1

В формуле используется знак , так как вектор внешней

нормали

на всей поверхности параболоида имеет тупой угол по отношению к положительному направлению оси Oz см. рис. 1

n 0

x	Рис.2.

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

Далее получаем

				cos x, y																	1										;
																					1


																	4x2 4 y2 1
																	4x2 4 y2 1
					a, n 0										2xy 2 yx z													;
					a, n 0																							;
																4x2 4 y2								1
																			a, n			0
						a, n 0																0
			П							d																							dxdy
			П							d																							dxdy
																			cos
												D							cos
														Oxy												z z ( x, y)
														Oxy

																													x2			y2
			4xy z				z x2 y2				dxdy										4xy													dxdy
			4xy z								dxdy										4xy													dxdy
	DOxy																DOxy
																			2			1
2 2 sin 2 2 d d d 2 3 sin 2 3 d
GO																		0				0
			2		4			sin 2						4						1	2				1							2			1
			2		4									4						1	2				1										1
		d																									sin									d
		d			2								4												2		sin								4	d
			0		2								4							0		0			2										4
																				0			2
									1	cos 2								1
									1									1
																																	.
									4									4												2			.
									4									4					0							2
																							0

Стаценко И.В. Лекция 10. Векторное поле и поток векторного поля

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024472.48 Кб2Лекция 1.pdf
#
16.05.2024458.2 Кб5Лекция 10.pdf
#
16.05.2024430.88 Кб4Лекция 11.pdf
#
16.05.2024449.15 Кб3Лекция 12.pdf
#
16.05.2024456.02 Кб2Лекция 13.pdf
#
16.05.2024416.26 Кб2Лекция 14.pdf
#
16.05.2024440.3 Кб2Лекция 15.pdf