§ 10.3. Аппроксимация граничных условий 2-го рода.

Выше мы занимались аппроксимацией дифференциального оператора, так как граничные условия первого рода не вызывали затруднений.

Рассмотрим, как правильно аппроксимировать краевое условие 2-го рода:

(10.8)

Если аппроксимировать это условие, используя простейшее разностное соотношение, то получим разностное краевое условие следующего вида:

Эта аппроксимация первого порядка точности, так как использована правая разностная производная. При этом понижается порядок аппроксимации всей разностной схемы.

Обычно используют для аппроксимации метод баланса.

Проинтегрируем уравнение исходное уравнение (10.1) по отрезку :

Аппроксимируя величину центральной (для точки )

производной, мы приходим к следующей аппроксимации краевого условия 2-го рода:

(10.9)

Где , .

Можно доказать, что полученная схема имеет второй порядок аппроксимации.

§10.4. Вариационная постановка краевой задачи.

Вернемся к одномерной краевой задаче стационарной теплопроводности:

(10.1)

Вариационные методы применяются для решения задач физики и техники, которые могут быть описаны с помощью вариационных принципов. Рассмотрим простейшие из них.

Для этого введем в рассмотрение следующий функционал:

Пусть U- множество функций, на котором этот функционал определен, и пусть все входящие в U функции удовлетворяют условиям: u(a)=ua, u(b)=ub.

Поставим задачу о нахождении минимума функционала J(u) на множестве U. В соответствии с вариационными принципами, функция u(x), являющаяся решением задачи, должна быть стационарной точкой этого функционала. А это означает, что она должна удовлетворять дифференциальному уравнению, называемому уравнением Эйлера:

(10.10)

Очевидно, что для введенного функционала :

,

,

Следовательно, уравнение Эйлера совпадает с дифференциальным уравнением в (10.1).

Таким образом, задача о поиске минимума вариационного функционала и задача о нахождении решения краевой задачи эквивалентны.

ЗАМЕЧАНИЯ:

1. Достоинство вариационной постановки задачи в том, что она исключает требование наличия у решения второй производной и даже непрерывность первой производной.

2. Для рассматриваемой задачи удалось построить вариационный функционал. В этом случае говорят, что задача допускает вариационную постановку. Однако, это удается сделать не для всех задач. Например, для уравнения : при нет подходящего функционала.

Метод Ритца.

Рассмотрим приближенный метод решения вариационной задачи о поиске .

Будем искать приближенную функцию в виде следующей линейной комбинации:

(10.11)

Здесь - некоторые фиксированные базисные функции, а коэффициенты

- неизвестные. Предполагается, что система базисных функций линейно независимая. Обозначим через - множество функций, удовлетворяющих условиям:

, . Предположим, что базисные функции удовлетворяют следующим условиям:

, , для всех ,

, , для всех .

Тогда, очевидно, , .

Согласно методу Ритца, приближенное решение определяется как функция, минимизирующая функционал:

(10.12)

Задача представляет собой задачу минимизации функции многих переменных.

Согласно необходимому условию экстремума , минимум этой функции достигается при тех значениях параметров , для которых выполняются равенства:

, i=1,2,…N-1 (10.13)

Добавляя к этим равенствам условия: , приходим к системе уравнений, из которых можно определить значения коэффициентов j=0, 1,2,…N.