§12.3 Интерполяция c кратными узлами.

Пусть в узле известны не только значения функции , но и значения ее производных , , … до некоторого порядка k.

В этом случае узел называют кратным, а число k+1,равное количеству заданных значений, называют кратностью узла.

Пример. Пусть дана точка и в ней заданы значения: .Тогда многочлен , удовлетворяющий условиям , , … представляется в виде отрезка ряда Тейлора:

(12.8)

Таким образом, формула Тейлора дает решение задачи интерполяции с кратным узлом.

ПОСТРОЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА ЭРМИТА

Рассмотрим отрезок интерполяции . Будем считать, что длина отрезка , и в концах отрезка известны не только значения функции и , но и значения производных: и , то есть оба узла кратности 2.

Построим многочлен , удовлетворяющий условиям:

, , , (12.9)

Запишем многочлен в общем виде:

Для определения коэффициентов воспользуемся равенствами (12.9)

,

,

Продифференцируем исходный полином:

Теперь подставим значения узлов и значения производных:

,

,

Таким образом, интерполяционный многочлен примет вид:

Выполним последнее преобразование:

Аналогично преобразуем другое слагаемое:

Окончательно, полином запишется так:

(12.10)

Полученный полином называется полиномом Эрмита.

§12.4 Сплайны.

Потребность в наличии аппроксимирующих функций, которые сочетали бы в себе локальную простоту многочлена невысокой степени и глобальную на всем отрезке [a,b] гладкость, привела к появлению в 1946 году так называемых сплайн-функций или сплайнов. Получив в 60-х годах 20 века распространение как средство интерполяции сложных кривых, к настоящему времени стали важной составной частью самых различных вычислительных методов и нашли широчайшее применение в решении разнообразных научно-технических и инженерных задач.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Сплайном степени m называется функция обладающая следующими свойствами:

1) Функция непрерывна на [a,b] вместе со своими производными , ,…, до некоторого порядка p.

2) На каждом отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.

3) , i=0,1,…n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на [a,b] производной называется дефектом сплайна.

Простейший пример сплайна дает кусочно-линейная функция, являющаяся сплайном первой степени (линейным сплайном) с дефектом, равным 1.

Наиболее широкое распространение получили сплайны третьей степени с дефектом равным 1 или 2.

Термин сплайн происходит от английского слова «spline» (гибкая линейка).

Примером кубического сплайна является интерполяционный многочлен Эрмита.

Так как он строился из условия

, , i=0,1,…n.

То есть это кубический сплайн дефекта 2. Его также называют локальным сплайном.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Значение производной в точках называют наклоном сплайна в точке и обозначают .

Построим кубический сплайн дефекта 1.

Заметим, что на отрезке интерполяции кубический сплайн однозначно определяется заданием значений , , , . Запишем многочлен Эрмита, в котором заменим известные значения и неизвестными наклонами и .

Очевидно, что выполнены следующие равенства:

,

,

Запишем формулу для сплайна на следующем отрезке.

Очевидно, что:

- известное значение ,

- неизвестное значение.

Теперь выберем значения наклонов таким образом, чтобы выполнялось равенство и для вторых производных:

Для этого найдем вторые производные от и .

Для второй производной получим следующее соотношение:

Окончательно,

Аналогично найдем вторую производную от :

Теперь приравняем значения производных в точке :

Собирая коэффициенты, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения наклонов сплайна:

Окончательно, система примет следующий вид:

Заметим, что в этой системе (n+1) неизвестное, и (n-1) уравнение.

…….

Поставим дополнительные условия:

1. Фундаментальный кубический сплайн.

Известны значения производной в концах отрезка : и .

Тогда дополнительные условия выглядят так: , .

2.Сплайн с известными значениями второй производной в концах отрезка:

, .

Тогда дополнительные условия выглядят так: (берем вторые производные в концах отрезка)

Или:

Аналогично для точки :

3. Естественный кубический сплайн: ,

4. Если нет дополнительной информации, то применяют условие «отсутствия узла»:

Выбор наклонов производят таким образом, чтобы для получаемого сплайна выполнялись условия: и .

Потребуем для этого совпадения третьих производных в соответствующих точках:

и .

Тогда получим следующие соотношения:

Погрешность приближения функции кубическими сплайнами.

ТЕОРЕМА. Пусть функция f имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную четвертого порядка и . Тогда для интерполяционного кубического сплайна , удовлетворяющего граничным условиям 1,2,4 справедлива следующая оценка погрешности: