ТЭД - Лекция 3 2021
.pdf
Волновое уравнение. Плоская волна |
11 |
|
Сферическая волна |
12 |
|
Предположим, что поле создается точечным зарядом, расположенным в начале координат q=q(t).
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
Пусть (r,t) (r,t) / r |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
r |
|
r |
|
r |
|
v |
|
t |
|
q |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для точечного заряда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r,t) |
|
(t r / v) |
|
|
|
|
|
|
|
R/v) |
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
(r ,t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dV,R |
(x x ) |
(y y ) |
(z z ) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 0 V |
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||
R |
0 |
|
|
j(r ,t R/v) |
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|||||
4 |
V |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Монохроматическая волна |
13 |
|
E(x, y, z,t) E0(x, y,z)ei t |
|
R |
R |
H(x, y, z,t) H |
|
|
(x, y, z)ei t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(x, y, z,t) D |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x, y, z)ei t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(x, y, z,t) B |
0 |
(x, y, z)ei t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j(x, y, z,t) j (x, y, z)ei t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R R |
стор |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
j |
j j |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
|
|
|
|
R |
Rстор |
|
i |
|
|
i60 |
|
|
|||||||
H i |
& |
где |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 E j |
|
& |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- комплексная диэлектрическая проницаемость среды |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
с учетом |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
120 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Монохроматическая волна |
14 |
|
2E |
x |
k 2E |
x |
0 |
|
|
|
1 d |
2 |
X 1 d |
2 |
Y 1 d |
2 |
Z |
k2 0 |
|||||||||||||||
Ex (x, y, z) X (x)Y(y)Z(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
X dx2 |
|
Y |
d y2 |
Z |
dz2 |
||||||||||||||||||||||||
d2 X |
kx2 X 0, |
|
d 2Y |
k |
2Y 0, |
d 2Z |
kz |
2 |
Z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dx2 |
|
|
|
|
d y2 |
|
y |
|
dz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Электродинамические потенциалы. Волновое уравнение |
15 |
Прямые задачи электродинамики – нахождение векторов электромагнитного поля по заданным источникам
HR D Rj t
R |
B |
E |
|
|
t |
R |
|
|
|
R |
R |
|
1 H |
0 |
|
|
E |
1 j, |
|
t |
||||||
R |
|
|
|
|
R |
|
1 E |
0 |
|
|
H |
||
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
R |
|
|
|
2H |
|
|
1R |
|
|
|
|
|||
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
t |
2 |
|
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
R |
|
|
|
|
|
|
||
1 E |
E |
|
|
j |
0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
с2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
c2 |
t2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|||||
уравнения Даламбера
Для однородной среды
С учетом
Электродинамические потенциалы. Волновое уравнение 16
Если в рассматриваемой области нет сторонних источников, уравнения являются однородными. Такие уравнения называются волновыми.
R
a 0
B 0
B A, A
|
R |
1 |
R |
|
- векторный потенциал |
H |
A |
||
0 |
||||
|
|
|
Подставляя выражение во 2 уравнение Максвелла получим
R |
A |
Тогда |
R |
A |
(E |
t ) 0 |
E |
t |
|
|
|
16
Электродинамические потенциалы. Волновое уравнение 17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
При помощи векторного тождества ( a) ( a) 2a |
|||||||||||||
2 A |
2 |
R |
|
A |
j |
|
|
||||||
|
A |
|
|
||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
c2 t2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
c2 t |
|
|
|
|
|
|||||||
Вспомним, что вектор А определен с точностью до градиента произвольной скалярной функции
A 0 - калибровка Лоренца
tc2
Диполь Герца |
18 |
|
Вибратор Герца (диполь Герца) — простейшая система для получения электромагнитных колебаний. Герц использовал медные стержни с металлическими шарами на концах, в искровой промежуток которых включалась катушка Румкорфа. Первые опыты с такой антенной были осуществлены Герцем в 1886—1888 годах
|
|
|
|
|
|
Электрический вибратор |
20 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для комплексной амплитуды |
|
|||||||||
jст (r, , ,t R / c) |
jст (r, , ) exp(i R /c) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом |
k |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ст |
(r, , ) exp( ikR) |
|
||||
& |
|
|
&jm |
|
||||||
Am |
|
|
|
|
|
|
dV |
|
||
4 |
|
R |
|
|
||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
jmстdS zR0imcm
S
& |
|
R |
icm |
l /2 exp( ikR) |
|
|
||||
z0 |
m |
|
|
|
|
d |
|
|||
Am |
4 |
|
|
|
|
|||||
|
r |
|
|
|||||||
|
|
|
|
l /2 |
|
|
|
|
||
R |
|
r2 2 2r cos |
|
|
|
|
||||
|
|
|
& |
R & |
& |
|
imcml exp( ikr) |
|||
r l |
Am z0 Azm |
Azm |
|
4 |
|
|||||
r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оператор Набла |
20а |
|