Variant_15

1. Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?

Решение:

Ответ: 455

2. Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

Решение:

Для решения задача применим формулу классической вероятности:

( ) = , где − кочичество всех вариантов, − количество

подходящих вариантов= {событие, что из наугад установленная комбинация откроет замок}= 1= 65 = 7776

1( ) = 7776 ≈ 0,000129

Ответ: 0,000129

3. Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0,7, второй – 0,8. Найти вероятность: а) уничтожения одного бомбардировщика; б) поражения двух бомбардировщиков; в) промахов Решение:

= {бомбардировщик сбит − м ПВО}= {бомбардировщик не сбит − м ПВО}( 1) = 0,7; ( 2) = 0,8

( 1) = 1 − ( 1) = 0,3; ( 2) = 1 − ( 2) = 0,2;

а) уничтожения одного бомбардировщика;

= {событие, что уничтожен один бомбардировщик}

= 1 2 + 1 2 ( ) = ( 1 2 + 1 2) = ( 1) ( 2) + ( 1) ( 2) = = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 = 0,38

б) поражения двух бомбардировщиков;

= {событие, что сбиты два бомбардировщика}

= 1 2 ( ) = ( 1 2) = ( 1) ( 2) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56

в) промахов

= 1 2 ( ) = ( 1 2) = ( 1) ( 2) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06 Ответ: а) 0,38; б) 0,56; в) 0,06

4. На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25 %, второй – 30 и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2 % брака, со второго – 3, с третьего – 1 %. Найти вероятность того, что: а) на сборку поступила бракованная деталь; б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

Решение:

= { событие, что деталь поступила на сборку с − го конвейера}

( 1) = 0,25; ( 2) = 0,3; ( 3) = 0,45= { событие, что деталь бракованная}

| = {событие, что деталь бракованная, если она поступила с − го конвейера}

( | 1) = 0,02; ( | 2) = 0,03; ( | 3) = 0,01

а) на сборку поступила бракованная деталь; используем формулу полной вероятности:

3

( ) = ∑ ( ) ( | ) = 0,25 ∙ 0,02 + 0,3 ∙ 0,03 + 0,45 ∙ 0,01 = 0,0185

=1

б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

Для вычисления данной вероятности применим формулу Байеса:

2| = {деталь поступила с второго конвейера, если она бракованная}

Ответ: а) 0,0185; б) 1837 5. Оптовая база обслуживает 6 магазинов. Вероятность получения заявки базой

на данный день для каждого из магазинов равна 0,6. Найти вероятность того, что в этот день будет: а) пять заявок; б) не менее пяти заявок; в) не более пяти заявок.

Решение: для решения задачи применим формулу Бернули:

( ) = −

В нашем случае n=6, = 0,6; = 1 − = 1 − 0,6 = 0,4, тогда

а) пять заявок;

6( = 5) = 650,650,46−5 = 6 ∙ 0,07776 ∙ 0,4 = 0,186624

б) не менее пяти заявок;

6( ≥ 5) = 6( = 5) + 6( = 6) = 650,650,46−5 + 660,660,46−6 = = 0,186624 + 0,046656 = 0,23328

в) не более пяти заявок

6( ≤ 5) = 1 − 6( = 6) = 1 − 660,660,46−6 = 1 − 0,046656 = 0,953344 Ответ: а) 0,186624; б) 0,23328; в) 0,953344

6. Найти закон распределения указанной дискретной СВ X и ее функцию распределения F (x). Вычислить математическое ожидание M (X ), дисперсию

D (X ) и среднее квадратичное отклонение (x). Построить график функции распределения F (x).

Вероятность отказа прибора за время испытания на надежность равна 0,2; СВ X – число приборов, отказавших в работе, среди пяти испытываемых.

Решение:

= 0,2; = 1 − = 0,8; = 5

Составим закон распределения:

Случайная величина Х может принимать значения: X={0,1,2,3,4,5} Вычислим соответствующие вероятности:

( = 0) = 500,200,85−0 = 0,32768( = 1) = 510,210,85−1 = 0,4096

( = 2) = 520,220,85−2 = 10 ∙ 0,04 ∙ 0,512 = 0,2048( = 3) = 530,230,85−3 = 10 ∙ 0,008 ∙ 0,64 = 0,0512( = 4) = 540,240,85−4 = 0,0064( = 5) = 550,250,85−5 = 0,00032

Запишем закон распределения:

0 + 0,32768 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512 + 0,0064; 4 < ≤ 5 {0 + 0,32768 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512 + 0,0064 + 0,00032; > 5

0; ≤ 0 0,32768; 0 < ≤ 1 0,73728; 1 < ≤ 2

=0,94208; 2 < ≤ 3 0,99328; 3 < ≤ 4 0,99968; 4 < ≤ 5

{1; > 5

Вычислим математическое ожидание:

5

( ) = ∑ = 0 ∙ 0,32768 + 1 ∙ 0,4096 + 2 ∙ 0,2048 + 3 ∙ 0,0512 +

=0

+4 ∙ 0,0064 + 5 ∙ 0,00032 = 1

Вычислим дисперсию:

( ) = ( 2) − 2( )

3

( 2) = ∑ 2 = 02 ∙ 0,32768 + 12 ∙ 0,4096 + 22 ∙ 0,2048 + 32 ∙ 0,0512 +

=0

+42 ∙ 0,0064 + 52 ∙ 0,00032 = 1,8( ) = 1,8 − 12 = 0,8

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

( ) = √ ( ) = √0,8 = 2 √5

Строим график функции распределения:

7. Дана функция распределения F (x) СВ X . Найти плотность распределения вероятностей p(x), математическое ожидание M (X ), дисперсию D (X ) и

вероятность попадания СВ X на отрезок a;b . Построить графики функций

F (x) и p(x).

0, где < 0

( ) = {151 ( 2 + 2 ), где 0 ≤ ≤ 3 ; = 0; = 2 1, где > 3

8. В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:

а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда; б) найти размах варьирования и разбить его на 5 интервалов; в) построить полигон частот, гистограмму относительных

частот и график эмпирической функции распределения; г) найти числовые характеристики выборки хв, Dв;

д) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности = 0,9 .

Решение:

а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;

б) найти размах варьирования и разбить его на 5 интервалов;

= 0,053 − 0,023 = 0,03

0,03

= 5 = 5 = 0,006

Полигон частот:

Гистограмму относительных частот:

в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

Запишем эмпирическую функцию:

г) найти числовые характеристики выборки хв, Dв;

=1

5

0,03716 − 1,71 0,0017 < < 0,03716 + 1,71 0,0017 √24 √24

0,03716 − 0,01424 < < 0,03716 + 0,01424

0,03546 < < 0,03886

Найдем доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения