tip_1

Задача типа I

Сформулировать систему уравнений, позволяющую определить величину теплового потока через плоский слой разреженного газа. Состояние этого газа описывается четырехмоментным двухсторонним максвеллианом с параметрами n₁, T₁, n₂, T₂. Задача стационарная. Известны: температуры поверхностей T_Г и Т_Х, расстояние между ними L, плотность газа вблизи горячей поверхности _X=0. Считается, что на горячей поверхности осуществляется полная энергетическая аккомодация, а на холодной коэффициент аккомодации, рассчитываемый по T_ПАД и T_ОТР равен 0,8.

Решение

Задача представляет собой тип I. Выбирается следующая четырехмоментная аппроксимация функции распределения:

Система уравнений сохранения массы, импульса, энергии для принятой аппроксимация функции распределения и произвольного значения координаты имеет вид:

(I)

Эта система уравнений справедлива при любом , т.е. и при . Следовательно, из (I) вытекают представленные ниже уравнения (1) – (3):

(1)

(2)

(3)

Аналогично при из (I) следует система уравнений (4) – (6):

(4)

(5)

(6)

Единица для безразмерной системы, для размерной записывается через L.

Продолжение решения задачи типа I

В шести уравнениях (1) – (6) содержатся десять неизвестных: , т.е. для замыкания системы уравнений, описывающей поставленную задачу, нужно сформулировать еще четыре уравнения.

По определению плотности газа как момента функции распределения и принятой аппроксимации этой функции в виде четырехмоментного двухстороннего максвеллиана получим:

(7)

Восьмое уравнение выводится приближенно из четвертого уравнения моментной системы путем приближенного вычисления интеграла в правой его части за счет применения теоремы о среднем. Известно, что:

; , если f(x) – интегрируема (непрерывна), ограничена, не меняет знак. Эти условия выполняются, т.к. в данном случае f(x) – это плотность пара, которая по своему физическому содержанию не может быть в данном случае разрывной, менять знак, а значения плотности ограничены определенными величинами. Следовательно, применение теоремы о среднем этим обосновано.

;

При , :

Приближенно:

Соответственно четвертое уравнение моментной системы

примет вид:

(8)

Коэффициент аккомодации энергии, рассчитываемый по T_ПАД и T_ОТР , запишется так:

.

Соответственно при . По условию задачи на горячей поверхности осуществляется полная энергетическая аккомодация, т.е. . Следовательно:

(9)

При . По условию задачи , откуда следует, что по определению:

(10)

Полученная система уравнений (1) – (10) замкнута относительно неизвестных .

Ответ: Сформулирована система уравнений (1) – (10), позволяющая определить величину теплового потока через плоский слой разреженного газа.