- •Глава 2. Прямые и плоскости
- •§1. Уравнение прямой на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой
- •Пусть задано общее уравнение прямой
- •Приравнивая правые части этих выражений, получим
- •§2. Уравнения плоскости
- •§3. Прямая в пространстве
- •§ 4. Взаимное расположение прямых и плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
Приравнивая правые части этих выражений, получим
.
Это каноническое уравнение прямой на плоскости.
Частные случаи этого уравнения уже обсуждались, когда рассматривали параметрические уравнения прямой. Когда q1 = 0, q2 ≠ 0, q(0, q2), тогда уравнение x = x0 можно рассматривать и как каноническое уравнение. В случае q1 ≠ 0, q2 = 0, q(q1, 0), получаем y = y0.
5. уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть даны точки А(xA, yA) и В(xB, yB). Запишем каноническое уравнение. В качестве направляющего вектора прямой (АВ) можно взять вектор с координатами (xB – xA, yB – yA). В качестве начальной точки можно выбрать любую из точек А или В. Пусть это будет точка А(xA, yA):
.
Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.
Очевидно, что если xA=xB=C(C=const), тоА(С,yA),В(С,yB) и уравнение прямой будет иметь вид:x=C (рис. 25). ЕслиyA=yB=C, то уравнение будет:y=C (рис. 26).
6. нормальное уравнение прямой
Рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости:
Ax + By + C = 0,
очевидно,что . Разделим уравнение на корень,
получим уравнение
.
Знак перед корнем выбираем противоположный знаку С. Учитывая, что (А, В) – координаты нормального вектора n, то деление на приводит нормаль к вектору единичной длины, коллинеарному исходному векторуn. Действительно, пусть
,
тогда модуль
.
Пусть φ – угол между вектором единичной длины n0 и положительным направлением оси Оx (рис. 27), тогда
,
.
Учитывая, что величина всегда отрицательна, обозначим эту дробь (–p), где p > 0, уравнение при этом примет вид:
x cosφ + y sinφ – p = 0.
Геометрический смысл угла φ ясен – это угол между вектором n0 и положительным направлением оси Оx, выясним смысл параметра p.
Найдем расстояние от прямой x cosφ + y sinφ – p = 0 до начала координат (рис. 28). Для этого запишем уравнение прямой, проходящей через начало координат, перпендикулярно данной. Очевидно, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор n0(cosφ, sinφ), вместо начальной точки точку О(0, 0). Воспользовавшись каноническим уравнением, получим
.
Решая систему
найдем точку пересечение этих прямых. Из первого уравнения имеем
,
подставляем во второе уравнение
=> =>
=> .
Решение системы:
Cледовательно, (p cosφ, p sinφ) – точка пересечения прямых. Найдем расстояние от точки пересечения до начала координат, получим
.
Таким образом, р – это расстояние от прямой x cosφ + y sinφ – p = 0 до начала координат. Уравнение
x cosφ + y sinφ – p = 0
называют нормальным уравнением прямой.
7. уравнение прямой с угловым коэффициентом
Рассмотрим общее уравнение прямой Ax + By + C = 0, предположим, что B ≠ 0, тогда
By = – Ax – C => .
Обозначим , для второй дроби было введено обозначение, когда рассматривалась прямая в отрезках,. Получим привычное со средней школы уравнение
y = kx + b,
называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Смысл параметра bбыл выяснен ранее – это длина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При этомb> 0, если отсекается отрезок в положительной части осиOy, иb< 0, если отрезок отсекается в отрицательной части осиOy. Как известно из школьного курса математики,k– это тангенс угла наклона, образованный прямой и положительной частью осиOx(угол считается от осиOxпротив часовой стрелки). Еслиk> 0, то угол острый, приk< 0 угол тупой (рис. 29, 30).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом можно получить и из канонического уравнения. Пусть прямая задана уравнением
.
Тогда, выражая y, получаем
q2(x–x0) =q1(y–y0) =>=>
=> .
Обозначим ,, получаем требуемое уравнение
y = kx + b.
8. примеры решения типовых задач
Рассмотрим несколько задач, иллюстрирующих связь и преимущества различных способов задания прямой на плоскости.
Пример1.
Дано: n(3, 2) – нормальный вектор, точкаM0(–2, 6) – начальная точка (рис. 31). Запишем уравнение прямой, проходящей через точкуМ0, перпендикулярно векторуn.
Пусть точка М(x,y) лежит на прямой, тогда вектор(x+ 2,y– 6) перпендикуляренnи, значит, их скалярное произведение равно нулю:
(n,) = 0,
3(x+ 2) + 2(y– 6) = 0,
3x+ 6 + 2y– 12 = 0,
3x+ 2y– 6 = 0.
Это общее уравнение прямой.
Перейдем к уравнению в отрезках. Для этого перенесем свободный член в правую часть:
3x+ 2y= 6.
Разделим уравнение на 6:
.
Из уравнения в отрезках видно, что отрезки, отсекаемые на осях OxиOy, соответственно равныa= 2,b= 3 (рис. 32).
Выразим из общего уравнения 3x+ 2y– 6 = 0 переменнуюy, получим
2y= –3x+ 6 => .
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k= –3/2 < 0, угол α – тупой,b= 3.
Вкачестве направляющего вектора прямой можно взять векторq(–2, 3). Действительно, указанный векторq(–2, 3) перпендикулярен векторуn(3, 2), т.к. их скалярное произведение равно нулю:
(n,q) = 0 => 3 ∙ (–2) + 2 ∙ 3 = 0,
следовательно, qпараллелен прямой (рис. 33).
Запишем каноническое уравнение прямой:
с начальной точкой М0(–2, 6) и направляющим векторомq(–2, 3).
Приравняем полученные дроби параметру t, получим
.
Выражаем переменные xиy:
и,
получаем уравнения:
или
Это параметрические уравнения прямой.
Заметим, что точки М0(–2, 6) иМ1(4, –3) лежат на прямой. Запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
=> .
Преобразовав это уравнение, получим:
–9x– 18 = 6y– 36 => 3x+ 2y– 6 = 0.
Мы получили первоначальное общее уравнение.
Разделим общее уравнение на , придем к уравнению
.
Это нормальное уравнение прямой, где , и расстояние от начала координат до прямой равно.
Пример 2.
Даны вершины треугольника А(1, 1),В(10, 13),С(13, 6). Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы углаА.
Медиана – прямая, проходящая через точку Аи середину противоположной стороныВС. Найдем середину стороныВСи обозначим ееА′:
;.
Получаем А′(11,5; 9,5). Запишем уравнение прямой, проходящей через две точкиАиА′:
=> .
Преобразовывая это уравнение, получим:
8,5x– 8,5 = 10,5y– 10,5 => 8,5x– 10,5y+ 2 = 0 =>
=> 17x– 21y+ 4 = 0.
Это общее уравнение медианы АА′.
Высота – прямая, проходящая через точку А, перпендикулярно прямойВС. Запишем уравнение прямойВС:
=> .
Воспользовавшись свойством пропорции, преобразуем уравнение:
–7x+ 70 = 3y– 39 => 7x+ 3y– 109 = 0.
Это общее уравнение прямой ВС.
Записать уравнение прямой, перпендикулярной данной, можно разными способами. Например, можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 1) с направляющим векторомq(7; 3). (В данном случае вектор нормалиnпрямойВСможно рассматривать как направляющий вектор высоты).
Каноническое уравнение высоты будет иметь вид:
.
Перейдем к общему уравнению:
3x– 3 = 7y– 7 => 3x– 7y+ 4 = 0.
Можно было бы получить уравнение высоты, используя уравнение с угловым коэффициентом. Две прямые, заданные уравнениями y=k1x+b1иy=k2x+b2перпендикулярны, еслиk1∙k2 = –1. Запишем уравнение прямойВСс угловым коэффициентом:
7x+ 3y– 109 = 0 => 3y= –7x+ 109 => .
k1= –7/3, значит,k2= 3/7. Тогда уравнение прямой, перпендикулярнойВС, будет иметь вид
.
Значение параметра bнайдем, подставив в уравнение координаты точкиА(1; 1):
=> .
И уравнение приобретет вид .
Найдем уравнение биссектрисы. Пусть D– точка пересечения биссектрисы со сторонойВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что |BD| : |DC| = |AB| : |AC|. Найдем длины сторон треугольника:
,
.
Следовательно, точка Dделит отрезокВСв отношениии, значит, координатыDбудут определяться формулами:
,
.
Остается записать уравнение прямой, проходящей через две точки А(1; 1) и :
=> .
Воспользовавшись свойством пропорции, получаем
231x– 231 = 297y– 297 => 231x– 297y+ 66 = 0.
Разделим уравнение на 33, получим
7x– 9y+ 2 = 0.
Это общее уравнение биссектрисы.
Эту задачу можно было решить, используя формулу для нахождения расстояния dот точкиМ(x1;y1) до прямойAx+By+C= 0:
.
Биссектрису угла можно рассматривать как прямую, каждая точка которой равноудалена от сторон угла. Найдем уравнение сторон АВиАС. Для стороныАВимеем:
=>=> 12x– 12 = 9y– 9.
Разделим уравнение на 3 и приведем подобные слагаемые:
4x– 3y– 1 = 0.
Это уравнение прямой АВ. Для стороныАСаналогично получаем:
=>=> 5x– 5 = 12y– 12 =>
=> 5x– 12y+ 7 = 0.
Это уравнение прямой АС. Расстояние от произвольной точкиМ(x;y) до прямойАВ:
.
Расстояние от Мдо прямой АС:
.
Учитывая, что dAB=dAC, получаем
=>=>
=> 52x– 39y– 13 = ± (25x– 60y+ 35).
Одна прямая имеет вид
52x– 39y– 13 = 25x– 60y+ 35 => 27x+ 21y– 48 = 0 =>
=> 9x+ 7y– 16 = 0.
Другая прямая:
52x– 39y– 13 = –25x+ 60y– 35 => 77x– 99y+ 22 = 0 =>
=> 7x– 9y+ 2 = 0.
Мы получили два уравнения биссектрис внешнего и внутреннего углов. Найдем их точки пересечения с прямой ВС, ее уравнение было получено выше:
7x + 3y – 109 = 0.
Решаем систему:
Получаем y= –39,5,x= 32,5. Точка с координатами (32,5; –39,5) не лежит на отрезкеВС, гдеВ(10; 13) иС(13; 6). Следовательно,
9x+ 7y– 16 = 0
уравнение биссектрисы внешнего угла.
Найдем точку пересечение второй биссектрисы со стороной BС:
Как видно, точка с координатами лежит внутри отрезкаВС. Следовательно, второе уравнение и есть уравнение биссектрисы внутреннего углаА.