1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ФИЗИКИ В.Н.БЕЛОКУРОВ, И.П.ШАПКАРИН

Методические указания к лабораторной работе №89

«Исследования затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре»

Утверждено в качестве методического указания Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2011

УДК 537.3 (075)

Б-11

Куратор РИС проф. Ракитянский В.И.

Работа рассмотрена на заседании кафедры физики и рекомендована к печати.

Зав. кафедрой Родэ С.В.

Авторы: д.т.н., доцент В.Н.Белокуров

к.т.н., доцент И.П.Шапкарин

Рецензент: Родэ СВ. д.т.н.,

Б-11 Бнлокуров В.Н. Исследование затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре: методические указания/ Белокуров В.Н., Шапкарин И.П. - М: ИИЦ МГУДТ, 2011 - 10 с.

Методические указания к лабораторной работе «Исследования затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре» содержит теоретическое введение, описание установки, порядок вы­полнения работы, в которой исследуются основные параметры контура, вопросы для допуска и защиты работы. Для определения параметров кон­тура используется осциллограф.

Для студентов 1-2 курсов технологических специальностей.

УДК 53 (075.8)

Московский государственный университет дизайна и технологии, 2011

Лабораторная работа №89

"Исследование затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре"

Цель работы: изучение затухающих электромагнитных колебаний и определение величин, характеризующих процессы в замкнутом колеба­тельном контуре.

Приборы и принадлежности: рабочая панель с замкнутым колебатель­ным контуром, электронный осциллограф С1-94, источник импульсного напряжения.

Теоретическое введение

1.Свободные электромагнитные колебания

Известно, что электромагнитные колебания можно возбудить в системе, называемой колебательным контуром. Реальный колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L и резистора R (рис1), соединён-ных последовательно.

Если предварительно заряженный конденсатор С замкнуть на индук-тивность L, то конденсатор начнёт разряжаться, и по контуру будет прохо-дить изменяющийся со временем ток. Когда заряд конденсатора станет равным нулю, ток в контуре достигнет максимума. В этот момент достигнет максимума и пропорциональное току магнитное поле, сконцентрированное главным образом в катушке L. Изменение магнитного поля приво­дит к возникновению в контуре ЭДС самоиндукции, которая, согласно за­кону Ленца, сначала замедляет скорость разрядки конденсатора. После то­го, как конденсатор полностью разрядится, ЭДС самоиндукции начнёт поддерживать ток в прежнем направлении. В результате происходит пере­зарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начинается снова, но ток идет в обратном направлении и т.д.

Во время разрядки конденсатора С его электрическая энергия (CU²/2) превращается в энергию магнитного поля тока в контуре, сосредоточен-ную, главным образом в катушке (LI²/2) и наоборот.

Максимальные значения напряжения на конденсаторе U_cm и тока в кон­туре I_т носит название амплитуд колебаний напряжения и тока. Так как контур всегда обладает некоторым активным сопротивлением R, то часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло. Вследствие этого энергия, запасенная в контуре, постепенно уменьшается, а амплиту­да колебаний U_cm или I_т убывает со временем. Уменьшение энергии элек­тромагнитных колебаний из-за потерь на излучение для замкнутого конту­ра, используемого в данной работе, пренебрежимо мало по сравнению с энергией контура, и поэтому не принимается во внимание.

Составим уравнение, описывающее затухающие колебания в замкнутом контуре. На основании второго правила Кирхгофа для цепи, приведённой на рис.1, имеем:

IR+U_C=, (1)

где U_с - напряжение на конденсаторе, равное q/c, q - заряд конденсато­ра, I - ток в цепи, - ЭДСсамоиндукции, возникающая вследствие изме­нения тока при перезарядке конденсатора.

Согласно закону электромагнитной индукции:

E= - L(dIldT) (2)

По определению тока, его величина / может быть представлена в виде:

I=dq/dt = (dU_c/dt)C (3)

С учетом (2) и (3) уравнение (1) примет вид:

CR(dU_c/dt)+ U_c = -LC(d2U_c/dt²) (4)

или

LC(d2U_c/dt²) + CR(dU_c/dt) +U_c = O

Разделив на LC, получим дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний:

/dt² + R/L(dU_cdt) + (1/LC)U_C = О (5)

Введем обозначения

R/L = 2, 1/LC=, (6)

где  - коэффициент затухания, ω₀ - собственная частота колебаний, возникающих в контуре при R, стремящемся к 0.

Решение уравнения (5) зависит от соотношения  и ω₀. Рассмотрим некоторые возможные случаи.

Случай 1 : ² < , т.е. R²/4L < 1/LC, что соответствует слабому затуха­нию. Решение уравнения (5) при этом условии имеет вид:

и_с = U_co е^t cos(+), (7)

где U_со - максимальное напряжение на конденсаторе при t=0, -на­чальная фаза колебания и - частота затухающих колебаний в контуре. График функции (7) показан на рис.2.

Частота со зависит от параметров контура:

и малом затухании колебания в контуре можно считать гармониче­скими,

совершаемыми с частотой сои амплитудой U_cm=U_m, уменьшаю­щейся

со временем по экспоненциальному закону. Несмотря на то,что за­тухающие колебания не являются, строго говоря, периодическими,

для них тоже можно ввести понятие периода, колебания, как промежутка вре­мени между двумя последовательными прохождениями величины U_c через максимум или минимум. Тогда:

(9)

Для характеристики затухания колебаний пользуются логарифмиче­ским декрементом затухания δ. Логарифмический декремент затухания определяют как логарифм отношения двух соседних последовательных значений напряжения:

δ = ln(U_cml/ U_cm2) = ln(U_om/ U_om) =T, (10)

где U_cm1 и U_cm2 - амплитуды напряжений, соответствующие моментам времени, отличающимся на период Т (рис.2).

Коэффициент затухания является величиной, обратной времени τ, в течение которого амплитуда U_cm уменьшается в е раз, т.е.

 = 1/(11)

С учетом (11) формулу (10) можно преобразовать:

δ = ln(U_cm1/ U_cm2) = T=T/τ = N_e, (12)

где N_e показывает число колебаний в контуре, при котором амплитуда уменьшается в е раз, е - основание натурального логарифма.

В радиотехнике качество контура оценивается его добротностью Q. Она определяется, как величина, обратно пропорциональная его логарифмиче­скому декременту затухания:

Q = / δ = N_e (13)

Из уравнения (13) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться, прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. Покажем, что добротность Q контура характеризует процесс изменения энергии контура со временем.

Энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды напряжения, т.е.

W=W₀ (14)

где W₀ - значение энергии при t=0.

Найдем скорость изменения энергии, продифференцировав (14) по време­ни t:

dW/dt = -2W_O= -2W (15)

При условии, что затухание слабое ( << ω₀) , убыль энергии за период согласно (15) будет равна:

(16)

или

-ΔW=2δW= (2/Q)W

(17)

Отсюда

(18)

Из (18) следует, что при слабом затухании добротность Q оказывается пропорциональной отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за один период колебания. Добротность контура тем выше, чем меньше затухание колебаний в нем.

Используя (6), (9) и (13) получим для Q при слабом затухании:

Q = 1/

(19)

Случай 2: ² =. При этом условии частота колебаний (формула (8) обращается в нуль, а период Т в бесконечность, т.е. колебания совер­шаться не будут, решение уравнения (5) в этом случае имеет вид:

и_с = (а+bt) (20)

где а и b — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. В зависимости от а и b величина U_c с течением времени не про­ходит через максимум ни разу, или проходит через него один раз.

При t величина U_c по (20) асимптотически стремится к нулю. Такой процесс называется апериодическим. График его представлен на рис.3.

Рис. 3

Выполнение условия ² =зависит от параметров контура. Оно воз­можно, исходя из (8) при

R_k (21)