Разрядка конденсатора

При замыкании ключа К в положение "в"(рис.5.1) цепь не содержит источника тока. На основе второго правила Кирхгофа можно написать:

(5.12)

Или

(5.13)

Разделяя переменные и обозначив CR через , получим:

(5.14)

После интегрирования имеем:

(5.15)

Значение постоянной интегрирования определяют из начальньпс условий. При t=0 const=lnq/_t=0=lnq₀. Тогда после потенцирования:

(5.16)

Для напряжения U_c на обкладках конденсатора можно написать:

(5.17)

где U_o - значение напряжения на конденсаторе в момент t=0. Из (5.17) видно, что напряжение на конденсаторе уменьшается со временем по экспоненциальному закону (рис.5.3).

Для нахождения тока i при разрядке воспользуемся (5.12) и законом Ома для участка цепи:

(5.18)

где I_о - величина тока в момент времени t=0. Знак "минус" в (5.18) указывает, что при разрядке конденсатора направление тока в сопротивлении R противоположно направлению тока при зарядке конденсатора (рис.5.1).

Физический смысл 

Если в (5.10) t=, то ln (i/I₀)=-1, или ln (I₀/i)=1, т.е. i=I₀/e, где e2,72. Следовательно, постоянная времени т показывает время, в течение которого ток зарядки или разрядки уменьшается в е раз.

РАБОТА №70

ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДКИ КОНДЕНСАТОРА

Цель работы: изучить процессы в CR - ячейке и определить постоянную времени  зарядки и разрядки конденсатора.

Приборы и принадлежности: источник питания постоянного тока; набор конденсаторов различной емкости; сопротивление; миллиамперметр; ключ; переключатель; секундомер.

Обоснование метода измерений

Из раздела 5 известно, что зависимость тока i от времени t при зарядке конденсатора описывается формулой (5.10). Если прологарифмируем (5.10), то получим:

(70.1)

Откуда

(70.2)

Из (70.2) следует, что между величинами ln(I₀/i) и временем t существует прямая пропорциональная зависимость типа той, что представлена на рис.70.1. Величина ln(I₀/i) может принимать разные значения.

Рис.70.1.

Из (70.2) следует, что при условии ln (I₀/i) =1; t=. Таким образом, для практического определения  необходимо измерить значение тока i зарядки (или разрядки) в различные моменты времени t и по результатам построить график зависимости ln (I₀/i) =f(t), по которому можно определить  описанным методом.

Другой метод определения  основан на зависимости, представленной на рис.5.2 и 5.3. Для обоснования этого метода найдем производную по времени t зависимости (5.10):

(70.3)

Если в (70.3) положить t=0, то di/dt=-I₀/. Из геометрического смысла производной функции известно, что di/dt равна тангенсу угла наклона касательной к функции I=f(t) проведенной в точке, соответствующей моменту t=0, т.е.

(70.4)

Из рис.5.2 видно, что . Таким образом, построив график зависимости тока зарядки от времени t, следует на этом графике провести касательную к кривой в точке t=0. Тогда отрезок OВ, отсекаемый касательной на оси времени, покажет в масштабе значение .

Описание установки

Установка для определения постоянной времени т собрана на вертикальной панели у рабочего стола в соответствии со схемой, представленной на рис. 70.1. Напряжение U питания установки подается от выпрямителя, подключаемого к щитку с напряжением 220В. Двухполюсный переключатель П замыкают в положение А для осуществления зарядки и в положение В - для разрядки.

Миллиамперметр mA служит для измерения тока, резистор R не изменяется в процессе измерений. С - батарея конденсаторов с системой ключей К₁ позволяющий выбирать разную емкость при выполнении работы. (Конденсаторы C₁, C₂,... С_n с помощью ключей K₁ соединяются параллельно). Ключ К позволяет измерить величину тока I₀ в начальный момент, т.к. если его замкнуть, то батарея конденсаторов будет замкнута накоротко, ток пойдет по ключу К.

Порядок выполнения

1. Ознакомившись с элементами схемы, определяют цену деления миллиамперметра. Выбирают одно значение емкости С из батареи конденсаторов с помощью системы ключей K₁ (величина С может быть указана преподавателем). Записывают значение выбранной С и величины R в таблицу 3.

2. Включают выпрямитель в сеть и переводят тумблер на лицевой панели выпрямителя в положение "вкл".

3. Устанавливают определенную величину начального тока I₀. Для этого переключатель П переводят в положение А (зарядка) и замыкают ключ К. Вращением ручки регулятора напряжения, расположенной на лицевой панели выпрямителя, устанавливают I₀ в пределах 40-60 mA (I₀ может быть задано преподавателем).

4. Размыкают ключ К и одновременно включают секундомер. Переключатель П остается в положении А. Измеряют значение тока зарядки i’_A через промежутки времени, указанные в таблице 1, и записывают в эту таблицу. Измерения тока i’_A проводят до тех пор, пока ток i’_A не достигнет значения 1-2 mA.

5.Для измерения тока разрядки i’_B переключатель П переводят в положение В (предварительно зарядив конденсатор) одновременно включив секундомер. Ключ К при этом остается разомкнутым.

При переводе переключателя П в положение В стрелка миллиамперметра начнет сразу двигаться по шкале. Поэтому запись величин i’_B в таблицу 1 начинают с момента времени, равного 5с от момента включения секундомера. Измерения тока производят до тех пор, пока ток i’_B не достигнет 1-2 mA. Величина i’_B при разрядке такая же, как и при зарядке, т.к. она определяется согласно закону Ома напряжением и сопротивлением участка цепи, которые остаются при разрядке прежними.

6. Проводят повторные измерения тока зарядки i’’_A и разрядки i’’_B в и результаты заносят в таблицу 1.

7. По данным таблицы 1 заполняют таблицу 2. Строят следующие графики: по данным таблицы 1 i_Aср=f(t) и i_Bср=f(t); по данным таблицы 2: ln (I₀/i)=f(t) (всего три графика).

8. Пользуясь графиком i_Aср=f(t) и ln (I₀/i)=f(t), определяют постоянную времени  двумя методами, описанными выше. Результаты заносят в таблицу 3.

9. Вычисляют постоянную времени  по величине емкости С и сопротивления цепи. Анализируют полученные значения .

10. Производят оценку погрешностей измерений.

Таблица 1

С=	t, c	0	5	10	15	20	30	...	...
Зарядка	i’A, mA
	i’’A, mA
	, mA
Разрядка	i’B, mА
	i’’B, mA
	, mA

Таблица 2

t, c	о	10	15	20	30	40	50	60	70	...	...	…
i=iAср
I0/iАср
ln (I0/iАср)

Таблица 3

С, Ф	R, Ом	', с (1 метод)	"(II метод) по данным рис.5.2		=CR

Вопросы для допуска к работе.

1. Назовите элементы схемы для изучения зарядки и разрядки конденсатора.

2. Объясните назначение переключателя П, ключа К и ключа K₁.

3. Какие величины и в какой последовательности необходимо измерять?

4. Поясните методы определения постоянной времени.

Вопросы для сдачи работы.

1. Вывести формулы и объяснить зависимости тока и напряжения от времени при зарядке конденсатора.

2. Вывести формулы (и объяснить) зависимости тока и напряжения от времени при разрядке конденсатора.

3. В чем заключается физический смысл постоянной времени?

4. Покажите, что  измеряется в секундах.

5. Объясните два метода практического определения .

6. Как изменяются графики зависимостей i_Aср=f(t) и i_Bср=f(t) при увеличении С или R? При уменьшении С или R?

Литература: [3] - стр.170-172.