TED_-_Lektsia_2_2018
.pdf
Уравнения Максвелла в комплексной форме
21
|
R |
R |
|
|
iωt |
, |
E(x, y,z,t) = E0(x, y, z)e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
(x, y, z)eiωt |
|
|
H(x, y, z,t) = H |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
Важность отдельного рассмотрения гармонического режима связана со следующими обстоятельствами.
Во-первых, большинство излучающих устройств создают поля, зависимость которых от близка к гармонической, что определяется
собственно свойствами колебательных систем.
Во-вторых, почти любой процесс с произвольной зависимостью от времени может быть представлен в виде интеграла или ряда Фурье, т.е. в виде суперпозиции гармонических колебаний.
В-третьих, при рассмотрении гармонических процессов существует возможность исключить из уравнений время и тем существенно их упростит Речь идёт о применении метода комплексных амплитуд, уже известного из теории электрических цепей
Внешняя и внутренняя задачи. Теорема единственности 22
решения краевых задач электродинамики
Поскольку уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями в частных производных, то они допускают множество решений. Содержанием теоремы единственности является формулировка минимального числа дополнительных условий , при которых задачи электродинамики решаются единственным образом, и доказательство единственности решения при этих условиях.
Различают две задачи электродинамики – внешнюю и внутреннюю.
Приведём доказательство теоремы для внутренней задачи.
Теорема единственности решения краевых задач |
23 |
электродинамики |
|
Пусть область пространства, в которой ищется решение, ограничена изнутри поверхностью Sa, а извне – поверхностью Sb (может отсутствовать, возможно также несколько внутренних границ)
Целью задачи является нахождение всех векторов поля E,H,D,B в объёме V
Внутренняя задача электродинамики |
24 |
|
Обозначим
|
∂ |
|
|
|
R |
d + h b |
|
|
R |
R |
|
|||||
|
|
|
e |
|
R |
R |
||||||||||
− |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dV = ∫ |
(e |
× h)n dS + ∫ j |
edV |
|||
∂t |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
S |
b |
|
|
V |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|||
|
∫ |
|
e |
d |
+ h |
b |
dV > 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V
RR
∫j edV > 0
V
R
∫(e × h)n dS = 0
Sb
Электростатический потенциал |
25 |
При решении задач электростатики удобно ввести скалярную функцию
– электростатический потенциал ϕ. Поскольку × E = 0
электростатическое поле называют безвихревым или потенциальным
E = − ϕ
Знак “ – “ свидетельствует о том, что за положительное направление вектор выбирается направление от точки с более высоким потенциалом к точке с Более низким потенциалом.
Соотношение определяет функцию неоднозначно. Действительно, величина вектора не изменится, если вместо функции ввести функцию, отличающуюся от на произвольную постоянную. Как правило, при решении конкретных задач произвольную постоянную выбирают таким образом, чтобы потенциал в бесконечно удалённых точках равнялся нулю.
Электростатический потенциал. Физический смысл |
26 |
Выясним физический смысл электростатического потенциала. На точечный электрический заряд q в электростатическом поле действует сила
,
F = qE
M 2R |
R |
|
M 2R R |
|
M 2 |
R |
M 2 |
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
||
A = ∫F |
dl |
= q |
∫E dl |
= −q |
∫ ϕ dl |
= −q ∫ |
( |
dx + |
dy + |
dz) |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
M1 |
|
|
M1 |
|
M1 |
|
M |
1 |
∂x |
∂y |
∂z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M 2
A = −q ∫dϕ = q(ϕ1 − ϕ2 )
M1
где ϕ1 и ϕ2 – электростатические потенциалы в точках М1 и М2
M 2R R
ϕ1 − ϕ2 = ∫E dl
M1
Электростатический потенциал. Физический смысл
27
Пусть заряд перемещается из точки М1 в бесконечно удалённую точку. Полагая потенциал в бесконечно удалённой точке равным нулю, получаем
∞ R R
ϕ1 = ∫E dl
M1
Отсюда видно, что потенциал в точке М1 численно равен работе, которую электростатическое поле совершает для перемещения единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Примеры вычисления потенциала |
28 |
|
Разность потенциалов в поле точечного заряда
Разность потенциалов между точками M1 и M2 равна
|
|
M 2R |
|
R |
|
r2 R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|||||
ϕ1 − ϕ2 = ∫ E dl = ∫ E drR |
|
|
|
|
E = |
qr |
|||||||||||||||
|
|
|
4πε |
|
εr3 |
||||||||||||||||
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ1 − ϕ2 |
= |
|
q |
|
|
r2 |
dr |
= |
|
q |
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
||||||||||
4πε |
|
ε |
|
2 |
4πε |
|
ε |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
r |
r |
|
0 |
|
r |
r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 → ∞, ϕ2 |
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ = |
q |
|
|
4πε0εr |
29
Спасибо за внимание!