TED_-_Lektsia_2_2018
.pdf
Уравнения Максвелла в интегральной форме |
11 |
|
Теорема Стокса
Закон полного тока
Уравнения Максвелла в интегральной форме |
12 |
|
Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому контуру равна сумме электрического тока и тока смещения, протекающих сквозь поверхность, опирающуюся на этот контур.
|
Аналогично |
|
|
dΦ |
|||
|
R R |
|
d |
|
R R |
||
∫ |
E dl |
= − |
|
∫ |
B nds = − |
|
|
dt |
dt |
||||||
L |
|
|
S |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Циркуляция вектора напряжённости электрического поля (электродвижущая сила) по любому замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур, с обратным знаком.
Формула Остроградского - Гаусса
Формула Гаусса
Уравнения Максвелла в интегральной форме. |
13 |
Поле заряда |
|
Заряд Q точечный либо распределён равномерно по поверхности сферы или по объёму шара радиуса а
r>a
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|||
Q |
rR |
|
Qr |
|||||||
E = |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4πε |
0 |
εr2 0 |
|
4πε |
0 |
εr3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сила взаимодействия двух зарядов (Закон Кулона).
R |
|
|
|
q1r |
|
|
|
|||
E1 = |
|
|
|
|
||||||
|
4πε |
0 |
εr |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= |
|
|
q1q2 |
|
rR |
||||
F |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4πε |
0 |
εr3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Максвелла в интегральной форме 14
Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность
.равен нулю. Линии вектора замкнуты или уходят в бесконечность, что подтверждает известный факт отсутствия в природе магнитных зарядов
R |
|
∂D |
R |
|
× H |
= |
∂t |
+ j |
D = ρ |
|
|
|
B = 0 |
|
× E = − ∂B |
||||
R |
|
|
|
|
∂t
Применив операцию дивергенции к уравнению
R |
∂D |
R |
× H = |
∂t |
+ j |
|
|
и учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, получим
|
∂D |
R |
|
|
R |
|
∂ρ |
|
|
|
|
+ j |
= 0 |
|
|
|
D = ρ |
||||
∂t |
с учетом |
j |
+ |
= 0 |
||||||
|
|
|
∂t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничные условия. Применения уравнений Максвелла 15
Уравнениями Максвелла в дифференциальной форме
удобно пользоваться при анализе электромагнитных полей в
.средах, параметры которых – непрерывные функции координат (или не зависят от координат).
На практике более часто встречается ситуация когда
рассматриваемая область состоит из двух или более разнородных сред. Обычно считается что параметры среды изменяются скачком. При этом, пользоваться уравнениями в дифференциальной форме неудобно, для изучения свойств при переходе из одной среды в другую следует использовать уравнения Максвелла в интегральной форме.
Нормальные составляющие поля |
16 |
|
∫ |
R |
|
D ndS = ρ h S |
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
h → 0 |
lim(ρ h) = σ |
Dn2 − Dn1 = σ |
|
h → 0 |
|
Аналогично |
|
|
R |
|
Bn2 − Bn1 = 0 |
∫B ndS = 0 |
||
S
Касательные составляющие поля |
17 |
|
|
∫ |
R R |
= |
d |
∫ |
R R |
используя |
H dl |
|
D nds + I |
|||
L |
|
|
dt |
S |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
h → 0 |
Hτ1 − Hτ 2 = js |
Поскольку плотность поверхностного тока отлична от нуля лишь на поверхности идеальных проводников, то касательная составляющая вектора непрерывна
на границе любых реальных сред
R R |
|
d |
R |
R |
Eτ1 − Eτ2 = 0 |
|
Аналогично, интегрируя ∫E dl |
= − |
|
∫B nds |
|||
dt |
||||||
L |
|
S |
|
17 |
||
|
|
|
|
|
||
Граничные условия на поверхности идеально |
18 |
проводящей среды |
|
При изучении электромагнитного поля вне металлических проводников последние часто заменяют идеально проводящей средой которая характеризуется бесконечной проводимостью γ = ∞ Идеально проводящая среда правильно воспроизводит в наиболее важных чертах влияние реальных проводников на поле вне их.
× H = ε |
∂Е +σE |
R |
R |
|
∂t |
R∂H
× E = −µa ∂t
Тогда
Dn2 − Dn1 = σ ;
|
|
|
|
R |
Dn1 |
внутри среды |
E |
= 0 |
|||
|
|
∂t |
= 0 |
R |
|
|
|
H = 0 |
|||
Тогда |
|
∂H |
|
|
|
|
|
|
|
Dn2 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
= 0 |
|
Dn1 = −σQ |
||
n2 |
|
|
|
|
|
Аналогично |
Bn1 = 0 |
18
Уравнение баланса энергии поля (теорема Пойнтинга) |
19 |
|
× H = ∂D + j |
|
E ( × H) = E ∂D |
+ E j |
|
|
|
|||||||||||
|
R |
R |
R |
|
|
R |
|
R |
|
R |
R |
|
|
|
|||
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
R |
∂B |
|
R |
|
|
|
R |
|
R |
∂B |
|
|
|
|
||
× E |
= − ∂t |
|
H ( × E) |
= −H ∂t |
|
+ H |
∂B + E j |
||||||||||
|
|
|
E ( × H) − H ( × E) = E ∂D |
||||||||||||||
|
|
|
R |
|
R |
|
|
R |
|
|
R |
R |
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
∂t |
|
|
|
|
|
R |
× H) |
|
|
|
R |
|
R |
∂B |
R |
R |
|
||
|
|
|
(E |
= −E ∂D |
− H |
− E j |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
∂t |
|
|
|
|
Проинтегрируем теперь уравнение по некоторому объёму V, включающему |
|||||||||||||||||
источники поля |
R |
R |
|
∂ |
|
|
|
E D + H B |
|
R |
R |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∫(E × H)n |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dV − ∫E jdV |
|
|||||
|
|
|
S |
|
|
∂t V |
|
|
2 |
|
|
|
V |
|
|
||
|
dW |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
= ∫(E |
× H)n dS + P |
|
|
|
|
Π = E × H - вектор Пойнтинга |
||||||||||
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Монохроматическое электромагнитное поле
20
формула Эйлера