§ 43. Дефект массы и энергия связи атомных ядер Основные формулы

• Согласно релятивистской механике, масса покоя m устойчивой системы взаимосвязанных частиц меньше суммы масс покоя m₁+ m₂+…+m_k тех же частиц, взятых в свободном состоянии.

Разность

∆m=(m₁+ m₂+…+ m_k)–m (1)

называется дефектом массы системы частиц.

• Энергия связи прямо пропорциональна дефекту массы систе­мы частиц:

E_св=c²∆m,

здесь с–скорость света в вакууме (c²=8,987*10¹⁶ м²/c²⁼8,987*10¹⁶ Дж/кг).

Если энергия выражена в мегаэлектрон-вольтах, а масса в атом­ных единицах, то

c²=931,4 МэВ/а. е. м.

• Дефект массы * ∆m атомного ядра есть разность между сум­мой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося из них ядра:

∆m=(Zm_p + Nm_n)-m_я,

здесь Z–зарядовое число (число протонов в ядре); m_pи m_n–массы протона и нейтрона соответственно; m_я – масса ядра.

Если учесть, что

m_я=m_a -Z m_e ; m_p+ m_e=m₁¹_H ; N=(A-Z),

то формулу дефекта массы ядра можно представить в виде

∆m=Zm¹_1H + (A–Z)m_n - m_a,

здесь А–массовое число (число нуклонов в ядре).

• Удельная энергия связи (энергия связи на нуклон)

E_уд=E_св / A.

* Термин «дефект массы» иногда применяют в другом смысле, а именно:

дефектом массы ∆ называют разность между относительной массой A_r, дан­ного изотопа и его массовым числом А: ∆=A_r–А. Таким образом, дефект массы ∆ показывает отклонение относительной атомной массы от целочислен­ного значения Эта величина прямого физического смысла не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления.

В настоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы ∆m, определяе­мый общей формулой (1).

Таблица. Массы нейтральных атомов

изотоп	символ	Масса, а.е.м.
электрон	e	0,00055
нейтрон	n	1,00867
Водород	11Н	1,00783
Дейтон	21Н	2,01410
Тритон	31Н	3,01605
Гелий	32Нe	3,01603
	42Нe	4,00260
Литий	63Li	6,01513
	73Li	7,01601
Бериллий	74Be	7,01693
	94Be	9,01219
	104Be	10,01354
Бор	95B	9,01333
	105B	10,01294
	115B	11,00931
Углерод	106C	10,01685
	126C	12,00000
	136C	13,00335
	146C	14,00324
Азот	137N	13,00574
	147N	14,00307
	157N	15,00011
Кислород	168O	14,99491
	178O	16,99913
	188O	17,99916
Фтор	199F	18,99840
Натрий	2211Na	21,99444
	2311Na	22,98977
Магний	2312Mg	22,99414
Алюминий	3013Al	29,99817
Кремний	3114Si	30,97535
Фосфор	3115P	30,97376
Калий	4119R	40,96184
Кальций	4420Ca	43,95549
Свинец	20682Pb	205,97446
Полоний	21084Po	209,98297

Задачи

Уровень 1.

1. Используя известные значения масс нейтральных атомов ¹₁Н, ²₁Н, ¹²₆С и электрона, определить массы т_р протона, т_d дейтона, m_я ядра ¹²₆С. m(e)=0,00055 а.е.м., m(¹₁Н)=1,00783 а.е.м., m(²₁Н)=2,01410 а.е.м., m(¹²₆С)=12,00000 а.е.м. Полученный ответ запишите в а.е.м. и умножьте на 10⁵.

1) [100728] 2) [201355] 3) [1199670]

2. Масса m_α альфа-частицы (ядро гелия ⁴₂Не) равна 4,00150 а.е.м. Определить массу т_α нейтрального атома гелия. m(e)=0,00055 а.е.м. Полученный ответ запишите в а.е.м. и умножьте на 10⁵. [400260]

3. Зная массу m_a нейтрального атома изотопа лития ⁷₃Li, определить массы m₁, m₂ и m₃ ионов лития: однозарядного (⁷₃Li)⁺, двухзарядного (⁷₃Li)⁺⁺ и трехзарядного (⁷₃Li)⁺⁺⁺. m(e)=0,00055 а.е.м., m(⁷₃Li)=7,01601 а.е.м. Полученный ответ запишите в а.е.м. и умножьте на 10⁵.

1) [701546] 2) [701491] 3) [701436]

4. Определить 1) дефект массы ∆m и 2) энергию связи Е_св ядра атома тяжелого водорода. m(²₁Н)=2,01410 а.е.м., m(n)=1,00867 а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., c²=931,4 МэВ/а.е.м.

1) Полученный ответ запишите в а.е.м. и умножьте на 10⁵. [240]

2) Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [2235] [2236]

Уровень 2.

1. Определить энергию Е_св, которая освободится при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро. m(³₁Н)=3,01605 а.е.м., m(n)=1,00867 а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., c²=931,4 МэВ/а.е.м. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [8494] [8495]

2. Определить удельную энергию связи E_уд ядра ¹²₆С. m(¹²₆С)=12,00000 а.е.м., m(n)=1,00867 а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., c²=931,4 МэВ/а.е.м. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [7684] [7685]

3. Энергия связи E_св ядра, состоящего из двух протонов и одного нейтрона, равна 7,72 МэВ. Определить массу m_a нейтрального атома, имеющего это ядро. m(n)=1,00867 а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., c²=931,4 МэВ/а.е.м. Полученный ответ запишите в а.е.м., умножьте на 10⁵ и округлите до целого значения. [301604] [301605]

4. Определить массу m_a нейтрального атома, если ядро этого атома состоит из трех протонов и двух нейтронов и энергия связи E_св ядра равна 26,3 МэВ. m(n)=1,00867 а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., c²=931,4 МэВ/а.е.м. Полученный ответ запишите в а.е.м., умножьте на 10⁵ и округлите до целого значения. [501259] [501260]

5. Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы разделить на отдельные нуклоны ядра 1) ⁷₃Li и 2) ⁷₄Be? c²=931,4 МэВ/а.е.м., m(n)=1,00867 а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., m(⁷₃Li)=7,01601 а.е.м., m(⁷₄Be)=7,01693 а.е.м. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения.

1) [39268] [39267] 2) [37629] [37628]

6. Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы оторвать один нейтрон от ядра азота ¹⁴₇N? c²=931,4 МэВ/а.е.м., m(n)=1,00867 а.е.м., m(¹⁴₇N)=14,00307 а.е.м., m(¹³₇N)=13,00574 а.е.м. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [10562] [10563]

7. Найти минимальную энергию Е, необходимую для удаления одного протона из ядра азота ¹⁴₇N. c²=931,4 МэВ/а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., m(¹⁴₇N)=14,00307 а.е.м., m(¹³₆C)=13,00335 а.е.м. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [7554] [7553]

8. Энергия связи Е_св ядра кислорода ¹⁸₈O равна 139,8 МэВ, ядра фтора ¹⁹₉F – 147,8 МэВ. Определить, какую минимальную энергию Е нужно затратить, чтобы оторвать один протон от ядра фтора. Полученный ответ запишите в мегаэлектронвольтах. [8]

9. Какую наименьшую энергию связи Е нужно затратить, чтобы разделить ядро ⁴₂Не на две одинаковые части? c²=931,4 МэВ/а.е.м., m(²₁Н)=2,01410 а.е.м., m(⁴₂Не)=4,00260 а.е.м. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [23844] [23843]

10. Определить наименьшую энергию Е, необходимую для разделения ядра углерода ¹²₆С на три одинаковые части. c²=931,4 МэВ/а.е.м., m(¹²₆С)=12,00000 а.е.м., m(⁴₂Не)=4,00260 а.е.м. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [7265] [7264]

Уровень 3.

1. Атомное ядро, поглотившее γ-фотон (λ=0,47 пм), пришло в возбужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны, разлетевшиеся в разные стороны. Суммарная кинетическая энергия Т нуклонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи Е_св ядра. Скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с. Полученный ответ запишите в килоэлектронвольтах и округлите до целого значения. [2238] [2239]

2. Определить энергию Е, которая выделится при образовании из протонов и нейтронов ядер гелия ⁴₂Не массой m=1 г. Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Авогадро N_A=6,022∙10²³ моль^-1, c²=931,4 МэВ/а.е.м., (n)=1,00867 а.е.м., m(p)=1,00783 а.е.м., m(⁴₂Нe)=4,00260 а.е.м. Полученный ответ запишите в Дж, умножьте на 10^-8 и округлите до целого значения. [6829] [6828]

(3) 1.1. Дефект массы