6. Гармонические колебания формулы.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

;

здесь m – масса точки, k – коэффициент квазиупругой силы (k = mω₀²);

Уравнение механических гармонических колебаний:

,

здесь x – смещение от положения равновесия или значение колеблющейся величины, x_max – амплитуда колебаний, ω₀ – циклическая собственная частота, t – время, φ₀ – начальная фаза, (ω₀t + φ₀) – фаза колебаний;

Период колебаний:

,

здесь N – число колебаний за время t;

Частота колебаний:

;

Циклическая частота:

,

Скорость и ускорение гармонических колебаний, соответственно:

,

;

Собственная частота и период колебаний математического маятника:

, ,

здесь g – ускорение свободного падения, ℓ – длина подвеса;

Собственная частота и период колебаний пружинного маятника:

, ,

здесь k – жёсткость пружины, m – масса тела, прикреплённого к пружине;

Период крутильных колебаний на упругой нити:

,

здесь I – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью, k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается;

Сила, возвращающая тело в положение равновесия в пружинном маятнике:

F_возвр = kx,

здесь k = mω₀²;

Кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия пружинного маятника, соответственно:

, , ;

Уравнение волны:

,

здесь ℓ – расстояние вдоль луча от источника волны до некоторой точки, t – время, x_max – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота, λ – длина волны, k – волновое число;

Скорость распространения волны:

,

здесь ν – частота волны,

Скорость распространения электромагнитной волны:

,

здесь n – показатель преломления волны в некоторой среде, c = 2,99792458∙10⁸ м/с – скорость света в вакууме;

Разность фаз:

;

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

,

здесь m – масса точки, r – коэффициент сопротивления, β – коэффициент затухания, β = r/(2m);

Уравнение механических затухающих колебаний:

,

здесь A₀ – начальная амплитуда, ω – частота затухающих колебаний ;

Время релаксации, логарифмический декремент затухания и добротность, соответственно:

,

здесь N_e – число колебаний, в течении которых амплитуда колебаний уменьшается в «e», E – среднее значение запасенной энергии в системе за некоторый промежуток времени, равный одному периоду колебаний, ΔE –потери энергии системе за тот же промежуток времени;

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

,

здесь F₀cos(ωt) – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания, F₀ – ее амплитудное значение, f₀ = F₀/m;

Амплитуда вынужденных колебаний:

,

Резонансная частота и резонансная амплитуда, соответственно:

.

Оглавление

Примеры решения задач

1. Длина маятника, демонстрирующего вращение Земли в Исаакиевском соборе в Ленинграде, равна 98 м. Определите период его свободных колебаний.

Дано: ℓ = 98 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Так как амплитуда колебаний маятника и размеры тела на подвесе малы по сравнению с длиной подвеса, его колебания можно считать гармоническими и для описания колебаний применить формулу периода колебаний математического маятника: с.
T – ?

Ответ: T = 20 с.

2. При подвешивании груза массой 1 кг стальная пружина в положении равновесия удлинилась на 1 см. С каким периодом будет совершать колебания этот груз на пружине после смещения его по вертикали из положения равновесия?

Дано: m = 1 кг; x = 1 см; g = 9,8 м/с2;	Решение: Под действием силы упругости пружины тело массой m совершает гармонические колебания с периодом, определяемым по формуле ,
T – ?

где k – жесткость пружины.

Жесткость пружины можно найти по ее удлинению под действием силы тяжести груза массой m. По закону Гука

.

Для модуля силы упругости в положении равновесия выполняется равенство

,

следовательно,

.

Подставляем полученное выражение в формулу для вычисления периода колебаний:

.

Мы получили, что для решения задачи достаточно было знать только удлинение пружины в положении равновесия, так как масса тела не входит в окончательную расчетную формулу.

Ответ: T = 0,2 с.

Оглавление