15. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре.

Последовательный колебательный контур (рис. 1) содержит конденсатор емкостью C и катушку индуктивностью L и сопротивлением R. Пусть в момент времени t = 0 на конденсаторе имеется заряд   . При разрядке конденсатора через катушку возникнет ток и на основе второго закона Кирхгофа

(1)

Учитывая, что   уравнение (1) может быть преобразовано к виду

,

(2)

где

,   ,

(3)

(a - коэффициент затухания, w₀ – собственная частота контура).

Если   , решение уравнения (2)может быть записано в виде:

,

(4)

где     .

Таким образом, при   зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых w, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура w₀. Постоянные q_m и j зависят от начальных условий. В рассматриваемом случае можно считать w»w₀ и j»0; тогда (4) принимает вид:

.

(5)

Закон изменения силы тока можно найти, дифференцируя (5) по времени с учетом, что   . Тогда

.

(6)

Уравнение (6) дает следующее соотношение между амплитудами тока и напряжения:

 ,

где

(7)

волновое или характеристическое сопротивлением контура и является одной из его основных характеристик, так как активное сопротивление контура не влияет на соотношение между U_m и I_m; оно определяет лишь степень затухания колебаний, т.е. быстроту уменьшения амплитуд с течением времени.

Кроме коэффициента затухания a для характеристики затухающих колебаний пользуются логарифмическим декрементом затухания, который равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, взятых через период Т:

.

(8)

Важным параметром колебательного контура является добротность Q, характеризующая относительную убыль энергии в процессе колебаний:

.

(9)

Энергия теряемая в контуре за один период, согласно закону Джоуля – Ленца, равна   , где I – эффективное значение переменного тока. Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии, накопленной конденсатором или катушкой индуктивности:   . Подставляя в (9) выражения для W и W_Т, получим:

.

(10)

16. Вынужденные колебания в параллельном колебательном контуре.

Пусть контур подключен к источнику внешней гармонической ЭДС с амплитудой Е_m:

 .

В соответствии с законом Кирхгофа получаем:

,

(11)

Решение уравнения (9) можно получить в виде:

.

(12)

Таким образом, при воздействии на контур периодической ЭДС колебательный процесс в нем вначале представляет собой суперпозицию свободных и вынужденных колебаний. Так как свободные колебания имеют затухающий характер, по истечении некоторого времени ими можно пренебречь и считать, что в контуре существуют лишь вынужденные колебания. Чем выше добротность контура, тем медленнее затухают свободные колебания.

Резонансом в последовательном контуре называется такое явление, при котором резко возрастает амплитуда вынужденных колебаний силы тока, реактивная составляющая входного сопротивления контура равна нулю и контур представляет для генератора чисто активную нагрузку. Резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.

Из этого вытекают следующие свойства резонанса в последовательном контуре:

1. При резонансе реактивное сопротивление   , поэтому частота генератора

;

(13)

но   , т.е. резонанс в последовательном контуре происходит при частоте генератора w_р равной собственной частоте контура w₀. Строго говоря, это не всегда правильно, так как при наличии в контуре сопротивления R собственная частота его w₀ отличается, хотя и весьма незначительно, от   .

Рис. 2

 

Характер изменения реактивных сопротивлений катушки индуктивности X_L, емкости Х_С и контура в целом Х от частоты показан на рис. 2. Следует иметь в виду, что на частотах ниже резонансной сопротивление контура носит емкостной характер, а на частотах выше резонансной – индуктивный.

2. Равенство   , при условии. что w_р = w₀=   , дает

.

(14)

Таким образом, при резонансе индуктивное и емкостное сопротивления контура порознь равны его характеристическому сопротивлению.

Так как при резонансе Х = 0, то полное сопротивление контура:

Отсюда следует, что между амплитудными значениями ЭДС Е_m и тока I_mp существует зависимость:

.

(15)

3. При резонансе ток и ЭДС генератора совпадают по фазе.

4. По формулам (14) и (15) устанавливаем соотношения между резонансными амплитудами напряжений на индуктивности   , емкости   и ЭДС генератора   :

 ,   ,   ,

(16)

Из выражения (16) следует, что при резонансе в последовательном контуре амплитуды напряжения на индуктивности и емкости равны между собой и каждая из них превышает амплитуду ЭДС генератора в Q раз. Вследствие наличия активного сопротивления в контуре максимум значений   ,   и   достигается при несколько различных значениях частот. И чем выше добротность контура, тем ближе эти значения.

Определим зависимость тока в контуре от частоты в относительном масштабе:

.

(17)

В случае использования контура в качестве фильтрующего элемента имеет смысл анализировать поведение тока в нем при относительно небольших отклонениях частоты сигнала от резонансной. С учетом этого можно принять, что   . Если отклонение частоты от резонансной (расстройку) обозначить через   то (17) примет вид

.

(18)

Это соотношение является аналитическим описанием резонансной, или амплитудно-частотной, характеристики контура. Из него видно, что значительные токи в контуре возникают лишь при небольших   , а следовательно, контур обладает фильтрующими (избирательными) свойствами. Избирательные свойства контура, т.е. способность ослаблять сигналы, частота которых отличается от резонансной, характеризуются полосой пропускания.

Полосой пропускания контура ΔF или ΔΩ (ΔΩ = 2π ΔF) называется область частот вблизи резонансной, на границах которой отношение токов (или напряжений)   .

Из соотношения (18) можно получить связь между полосой пропускания, резонансной частотой и добротностью:

 ,

откуда легко найти, что

или   .

(19)

Ряд нормированных амплитудно-частотных характеристик контуров, отличающихся только добротностью Q, показан на рис. 3.

 

 Рис. 3

 

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называют зависимость фазового сдвига j тока в контуре относительно вызывающей его ЭДС от частоты. Для последовательного контура имеем