Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

Пользуясь здесь тем же приемом, что и при выводе критерия Фурье, введем следующие соотношения:

Относя уравнение (5.84) к натуре, а затем к модели, мо­

Заменив в последнем уравнении все величины через их вы­ ражения по (5.85), найдем:

При условии, что mx - m x^- mx, уравнение (5.88) упроща­

ется и принимает вид

161

mL = 1, тр = 1, тх = 1., уравнение (5.90) значительно упрощается

Кроме этого требования на модели должно быть выполнено требование критерия Фурье, согласно которому при принятых

Более сложные случаи теплового моделирования здесь не рассматриваются. При некоторых условиях моделирование темпе­ ратурных полей в средах, меняющих агрегатное состояние, а с ним и значения температурных констант, становится принципиально невозможным.

Забегая несколько вперед, отметим, что если выполняется те­ пловое моделирование подвижной среды - потока в реке, водохра- нилище-охладителе, конвективных потоков в водоеме и воздухе, окружающем исследуемый объект, то для вывода соответствующе­ го критерия подобия должны воспользоваться уравнением энергии (см. главу 6, формулы (6.10) или (6.13)). Тогда, по аналогии с крите­ рием Fo (5.75), получим критерий Пекле:

где vM, /м, ам и vH, /н, ап - соответственно скорость, характер­

ный размер потока и коэффициент физической (турбулентной) температуропроводности на модели и в натуре.

Из курса гидромеханики нам известен критерий подобия Рейнольдса:

162

Если теперь воспользоваться полученными критериями по­ добия Bi, Ре и Re, то можно составить комплексные критерии, ко­ торые хотя нового ничего не создают, но иногда более удобны в исследованиях, например,

При рассмотрении подобия теплообмена при свободной кон­ векции в подвижной среде, обусловленной различием температу­ ры в разных ее точках, будем иметь новый критерий подобия -

критерий Грасгофа:

v

где At - характерный температурный напор (разность температу­ ры поверхности воды и воздуха на удалении), (3, - коэффициент объемного расширения жидкости (воздуха). Если же свободная конвекция вызвана разностью плотности в двух точках жидкости на одной вертикали, обусловленной как различием температуры, так и другой какой-либо причиной, то получим критерий Архиме­ да, используемый в качестве критерия устойчивости частиц жид­ кости (воздуха) в неоднородной среде,

частицу жидкости (воздуха атмосферы, если конвективный пере­ нос протекает в атмосфере).

163

2) скрытый поток теплоты (п. 3.6)

где ср - теплоемкость воздуха при постоянном давлении; рв -

плотность воздуха; а - коэффициент теплового расширения воз­

духа; kt и кЕ - коэффициенты теплопроводности воздуха и диф­

фузии водяного пара; v - кинематический коэффициент вязкости воздуха; т « 0,075; Во - число Боуэна (9.7); Ьи - удельная тепло­

та испарения; At я Aq - разность значений температур и удель­

ной влажности у поверхности воды и на удалении, т. е. на верхней границе пограничного слоя атмосферы. Метеорологи и гидрологи за верхнюю границу приводного пограничного слоя атмосферы принимают высоту, равную 2 м, океанологи - 1 0 м; это высоты, на которых ведутся стандартные метеонаблюдения.

165

ГИ Д Р О Т Е Р М И Ч Е С К И Й Р А С Ч Е Т В О Д О Е М О В

ИВ О Д О Т О К О В

До сих пор мы рассматривали задачи, связанные в основном с изучением распределения теплоты в неподвижных средах.

Между тем целый ряд практических задач, выдвигаемых в на­ стоящее время гидрологией и гидротехникой, требуют изучения распространения теплоты в водных ламинарных или турбулентных потоках: реках (каналах), водохранилищах, озерах и т.д. Для рас­ смотрения распределения температуры в таких потоках используют уравнения турбулентной теплопроводности. Осуществим его вывод.

6.1. Д ифференциальное уравнение теплопроводности турбулентного потока

Процесс накопления и расходования теплоты в водоеме ко­ личественно характеризуется уравнением теплового баланса, вы­

распространяться двумя путями:

1)вместе с водными масРис­ . 6.1. Схема к выводу диффе­

166

нении свидетельствует о том, что Q2 - уходящее из элементарного

параллелепипеда количество теплоты.

Для остальных граней параллелепипеда будем соответствен­ но иметь:

Другие шесть слагаемых уравнения (6.1) (Q[ , Q'2, Q3, Q'4,

Qs > Qc, )= обусловленные турбулентной теплопроводностью, опре­ делим по следующим формулам:

Q[ = -Х т— dy dz dx, dx

где XT - коэффициент турбулентной теплопроводности.

Изменение энтальпии рассматриваемого объема Q1 опреде­

лим по формуле

168

нение (6.7) носит название дифференциального уравнения турбу­ лентного потока жидкости. Его также называют уравнением энер­ гии и реже уравнением конвективной теплопроводности.

При постоянном значении коэффициента турбулентной теп­ лопроводности А.т для всего потока уравнение (6.7) примет вид:

Коэффициент турбулентной теплопроводности изменяется в зависимости от координат х, у, z. Но, так как накопленные к на­ стоящему времени знания об его изменении по координатам не позволяют определять характер этой зависимости, его обычно принимают постоянным.

169

Учитывая, что левая часть уравнения (6.9) - полная произ­ водная от температуры по времени, его можно представить в виде

dt

где а т=А,т/(ср) - коэффициент турбулентной (конвективной) тем­ пературопроводности.

При наличии в потоке внутренних источников теплоты (на­ пример, теплоты, появляющейся при изменении агрегатного со­ стояния воды: при внутриводной кристаллизации, при переходе кинетической энергии движения потока в тепловую, при проник­ новении лучистой энергии в воду и т. д.) уравнение (6.10) должно быть дополнено еще одним слагаемым, связанным с источником

где W - интенсивность внутреннего источника (количество теплоты, которое выделяется или поглощается единицей объема жидкости).

Из сопоставления выражений (3.53) и (6.10) следует, что уравнение энергии отличается от дифференциального уравнения теплопроводности полной производной, учитывающей три допол­ нительных слагаемых, и коэффициентом турбулентной температу­ ропроводности ат. Для ламинарного потока уравнение энергии аналогично уравнению (6.11):

где а = V(cp) ~ коэффициент температуропроводности жидкости.

В случае установившегося температурного режима водного потока температура в каждой точке его остается неизменной во времени (dt/dт = 0) и меняется лишь по направлениям х, у, z,

а уравнение (6.9) принимает следующий вид:

170