1.2. Свойства сходящихся рядов

∞

a1 +a2 + +an + = ∑an

(2.1)

~

чим через Sn n-ю частичную сумму нового ряда

(2.2)

a1

+a2 + +ak +ak +1 + +an + .

~

~

~

Разность

~

~

при n > k

постоянна (не зависит от n). Тем самым, последо-

Sn

−Sn = Sk −Sk

вательности Sn

и

~

Sn сходятся или расходятся одновременно и, значит, из сходимости ряда

∞

Определение. Если в сходящемся ряде a1 +a2 + +an +an+1

+an+2 + = ∑an отбро-

n=1

сить первые n членов, то получим сходящийся ряд an+1 +an+2

+ +an+k

+ , который

∞

называют n -м остатком данного ряда и обозначают Rn

= ∑ak (здесь n фиксирова-

k =n+1

∞

но). Тогда исходный ряд можно записать в виде ∑an = Sn

+ Rn .

n=1

∞

Если S – сумма ряда ∑an , то остаток ряда Rn

= S −Sn

для любого n =1, 2, .

n=1

∞

Пример 2.1. n-м остатком ряда ∑aqn−1 является ряд

n=1

∞

Rn = aqn + aqn+1 + + aqn+k−1

+ = ∑aqk+n−1 .

k=1

Он сходится при

q

<1.

∞

Теорема 2.2. Если все члены сходящегося ряда a1 +a2 + +an + = ∑an

умножить на од-

n=1

∞

но и то же число λ ≠ 0 , то ряд λa1 +λa2 + +λan + = ∑λan останется сходящимся, а

n=1

∞

∞

его сумма умножится на это число, т. е. ∑λan = λ∑an .

n=1

n=1