группа Наклеивать на лицевую сторону обложки тетради

Российский государственный гидрометеорологический университет Факультет заочного обучения

195196, Г.Санкт-Петербург, Малоохтинский пр. Д.98, тел.444-41-32 фзо

Контрольная работа №_6,7,8,9______

По Математике (Вариант № С )

Год издания методических указаний_____________________________________________________

Студента (ки)________курса, специальности _____________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

Обратный адрес _____________________________________________________________________

Обыкновенные дифференциальные уравнения Контрольная работа 6

Задание . Найти общее решение дифференциального уравнения.

С. ; .

Решение.

Выполним преобразование с заданным уравнением:

,

разделим уравнение на :

Данное уравнение является однородным первого порядка, т.к. выполняется равенство , где – правая часть уравнения.

,

тогда

.

Выполняем подстановку

; , где , тогда .

Уравнение примет вид

;

;

.

В данном уравнении теперь можно разделить переменные:

;

;

.

Переменные разделены, можно интегрировать

;

;

;

;

.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения

.

Ответ: .

Данное уравнение является уравнением второго порядка, допускающим понижение порядка. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки: , тогда . Выполняя подстановку, получим уравнение первого порядка, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Вернемся к замене и отыщем функцию :

;

;

;

.

Выполним интегрирование

;

;

.

Ответ: .

Задание II. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

С. ; .

Решение.

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид

;

.

Тогда общее решение однородного уравнения примет вид

.

Применим метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения .

В этом случае , среди корней характеристического уравнения нет корней, равных .

Частное решение ищем в виде

где – неопределенный коэффициент. Найдем , .

;

.

Для определения подставим выражения , в исходное уравнение.

.

Преобразовываем полученное выражение:

;  .

Тогда частное решение неоднородного уравнения примет вид:

.

Общее решение неоднородного уравнения

.

Найдем частное решение неоднородного уравнения, используя начальные условия: , , . Найдем :

.

Подставляя начальные условия в и , получим уравнения:



Таким образом, частное решение исходной задачи имеет вид:

.

Ответ: частное решение .