9

Лабораторная работа №1

Принятие решений в условиях риска и неопределенности

Руководство фирмы предполагает выйти на рынок с двумя продуктами (А и Б). Предварительно проведенные маркетинговые исследования показали, что фирме целесообразно выйти на рынок с Продуктом А по цене, равной 200 руб. за единицу товара, а с Продуктом Б - по цене 50 руб. за единицу. Пусть постоянные затраты на производство Продукта А (амортизация оборудования; оплата управленческого персонала; реклама и т.п.) составляют 60 тыс. руб., а для второго вида продукции они равны 40 тыс. руб. Переменные затраты на производство единицы продукта А (расходные материалы и заработная плата рабочих) составляют примерно 100 руб. (50 % от цены), а для второго продукта - 25 руб.

Маркетинговые исследования показали, что по уровню платёжеспособного спроса рынок может находиться в трех различных состояниях. Значения спроса на продукцию и вероятности различных состояний рынка представлены в табл. 1.

Состояния рынка

Таблица 1

Продукция	Состояния рынка
	Уровень спроса (тыс. шт.)
	S1	S2	S3
Продукт А	5	10	20
Продукт Б	45	40	30
Вероятность состояния рынка	0,3	0,5	0,2

Руководство фирмы, исходя из оценок возможных состояний рынка и собственных возможностей, формулирует три альтернативных стратегии (решения) - X₁, X₂, X₃. Каждая стратегия i фирмы характеризуется определёнными значениями t_hi объемов производства продукта h (см. табл. 2). Требуется выбрать оптимальную стратегию фирмы.

Стратегии фирмы

Таблица 2

Продукция	Стратегии фирмы
	Объем производства (тыс. шт.)
	Х1	Х2	Х3
Продукт А	t11=5	t12=10	t13=20
Продукт Б	t21=45	t22=40	t23=30

Для решения задачи необходимо построить таблицу выигрышей (прибылей) фирмы. В клеточках таблицы запишем прибыль, которую можно получить при каждом сочетании вариантов стратегии фирмы и состояния рынка. Обозначим через FC_h - постоянные издержки на производство h-го продукта; AVC_h - средние переменные затраты на производство единицы продукции h; g_h - цену единицы продукции h; d_hj - объём платёжеспособного спроса на продукт h при состоянии рынка S_j; t_hi – объем производства продукта h при стратегии фирмы X_i. Величину прибыли U_ijh, получаемую фирмой от реализации продукта h при стратегии X_i и состоянии рынка S_j, будем определять по формуле:

U_ijh = g_h * min (t_hi,d_hj) - (FC_h + AVC_h * t_hi). (5)

Здесь в выражение для выручки от реализации единицы продукции h входит наименьшее из двух величин: объема производства продукта h при стратегии X_i и объема спроса на продукт h при состоянии рынка S_j. Очевидно, что если объём спроса d_hj меньше величины объема производства t_hi, то в этом случае продукция будет реализована лишь в объёме d_hj. При этом часть выпущенной продукции, равная (t_hi - d_hj), не будет реализована.

Общая прибыль U_ij от реализации всех видов продукции при стратегии X_i и состоянии рынка S_j равна:

U_ij = U_ij1 + U_ij2 + ... + U_ijh + ... + U_ijr, (6)

где r - количество видов продукции, с которыми фирма выходит на рынок (в примере r равно 2).

Значение ожидаемой прибыли U₁₁ при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁ рассчитывается следующим образом: в соответствии с выражением (1) величина прибыли U₁₁₁ от реализации продукта А при стратегии X₁ и состоянии рынка S₁ равна

U₁₁₁ = 200*min (5*10³, 5*10³) - 6*10⁴ - 100*5*10³ = 0,44 млн. руб.

Аналогично определим величину прибыли от реализации второго продукта при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁:

U₁₁₂=50*min (45*10³, 45*10³) - 4*10⁴ - 25*45*10³ = 1,085 млн. руб.

В итоге, прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X1 и состоянии рынка S1 составит

U₁₁ = U₁₁₁+U₁₁₂ = 0,44 + 1,085 = 1,525 млн. руб.

Аналогичным образом рассчитаем значения прибыли от реализации продукции при других сочетаниях вариантов стратегии фирмы и состояния рынка. Результаты расчетов приведены в табл. 3.

Таблица выигрышей

Таблица 3

Стратегии фирмы	Прибыль Uij (млн. руб.)
	Состояния рынка
	S1	S2	S3
Х1	1,525	1,275	0,775
Х2	0,9	1,9	1,4
Х3	-0,35	0,65	2,65
Вероятность состояния рынка	0,3	0,5	0,2

Рассмотрим различные ситуации и наиболее подходящие для них методы выбора оптимальной стратегии фирмы.

Ситуация 1. Вероятности различных состояний рынка известны. В соответствии с критерием Байеса-Лапласа должна выбираться стратегия фирмы, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально (см. формулу (1)). При заданном распределении вероятностей p(S_j) наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия X₂:

0,9*0,3 + 1,9*0,5 + 1,4*0,2 = 1,5 млн. руб.

Для стратегии X₁ средняя ожидаемая прибыль равна 1,25 млн. руб., а для стратегии X₃ - 0,75 млн. руб., следовательно, стратегия X₂ является оптимальной.

Ситуация 2. Вероятности различных вариантов спроса на продукцию не известны и требуется выбрать стратегию, которая даёт максимальный выигрыш (прибыль) при различных состояниях рынка. Выбор стратегии фирмы будем проводить по максиминному критерию Вальда. Решающее правило представлено выражением (2). Выбирая в каждой строке табл. 3 элемент с минимальным значением прибыли U_ij, получаем последовательность значений {0,775; 0,9; -0,35}. Оптимальной будет стратегия X₂, при которой максимальное из минимальных значений прибыли равно 0,9 млн. руб.

Ситуация 3. Вероятности состояния рынка не известны и требуется в любых условиях максимально избегать риска. Выбор стратегии фирмы будем проводить по критерию Сэвиджа-Ниганса. Величину риска будем определять как изменение прибыли фирмы при данном состоянии рынка относительно наилучшего возможного решения. Например, если бы фирма точно знала, что рынок будет находиться в состоянии S₂, то она выбрала бы стратегию X₂, получая при этом наибольшую прибыль в 1,9 млн. руб. Но, так как фирма точно не знает, какое будет состояние рынка, то она может выбрать и стратегию X₃ и получить при этом всего лишь 0,65 млн. руб. Потери фирмы (недополученная прибыль) будут равны 1,9 – 0,65 = 1,25 млн. руб. Эта величина потерь и называется риском. Аналогичным образом рассчитаем величины рисков для различных стратегий фирмы и состояний рынка; результаты расчетов сведем в таблицу рисков (табл. 4).

Таблица рисков

Таблица 4

Стратегии фирмы	Риск Rij (млн. руб.)
	Состояния рынка
	S1	S2	S3
Х1	0	0,625	1,875
Х2	0,625	0	1,25
Х3	1,875	1,25	0

Выбирая в каждой строке рисков максимальный риск, получаем последовательность максимальных рисков {1,875; 1,25; 1,875}. Оптимальной будет та стратегия, для которой риск, максимальный при различных вариантах состояния рынка, окажется минимальным. Следовательно, X₂ - оптимальная стратегия.

Ситуация 4. Вероятности состояний рынка не известны и требуется найти компромисс между стратегиями поведения перестраховщика и абсолютного оптимиста. В этой ситуации оптимальной будет та стратегия, для которой показатель G_i - критерий пессимизма-оптимизма Гурвица принимает наибольшее значение (см. выражение (4)).

Покажем, как работает критерий Гурвица для фиксированного значения коэффициента k, равного 0,5. Рассчитаем значение показателя G_i(k) для первой стратегии фирмы X₁:

G₁(0,5) = 0,5 * 0,775 + 0,5 * 1,525 = 1,15 млн. руб.

При k = 0,5 для стратегий X₂ и X₃ показатель G_i(k) принимает значения: G₂(0,5) = 1,4 и G₃(0,5) = 1,15. Оптимальной будет стратегия X₂, так как при ней показатель G_i(0,5) достигает наибольшего значения. Аналогично рассчитаем значения критерия G_i(k) и определим оптимальные стратегии фирмы при других значениях коэффициента k. Результаты расчётов сведены в табл. 5.