Цель выполнения работы

Цель выполнения лабораторной работы – освоение методов принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Постановка задачи

Пусть задан набор решений руководства фирмы (стратегий) X₁, X₂, ..., X_m. Пусть также заданы обстоятельства, с учетом которых принимается решение и при которых оно в дальнейшем будет выполняться. Все их значения образуют перечень возможных состояний внешней среды («природы») S₁, S₂, …, S_n. Каждой паре стратегий (X_i, S_j) соответствует выигрыш (эффективность, прибыль) фирмы U_ij, если решение i придется выполнять при состоянии j внешней среды. Требуется выбрать оптимальную стратегию фирмы.

Описание метода решения задачи

Тип задач выбора в условиях неопределенности определяется характером неопределенности. Если распределение вероятностей различных состояний среды известно, то в этом случае имеет место ситуация принятия решений в условиях риска. Если же распределение вероятностей различных состояний среды неизвестно, то имеет место ситуация принятия решений в условиях полной неопределенности.

Для принятия решения разработан ряд специальных приемов (правил), называемых критериями принятия решения. Если есть возможность определить вероятности различных состояний среды, то для выбора стратегии фирмы используется критерий Байеса-Лапласа. Для принятия решения в ситуации полной неопределенности может быть рекомендован ряд критериев: максиминный критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя); критерий минимаксного риска (сожаления) Сэвиджа-Ниганса; критерий пессимизма-оптимизма Гурвица; критерий недостаточного основания Лапласа. При выборе критерия принятия решения особое значение приобретает отношение лица, принимающего решение (ЛПР) к риску: склонность к рискованным действиям (оптимизм) или его отклонение от риска (пессимизм).

Ситуация 1. Вероятности различных вариантов состояния среды известны (принятие решения в условиях риска). Если есть возможность определить вероятности различных состояний среды, то для выбора решения используется критерий Байеса-Лапласа. При этом предполагается, что возможным дискретным состояниям среды S₁, S₂,..., S_n можно приписать определенную вероятность, равную соответственно p(S₁), p(S₂),...,p(S_n).

Оптимальной выбирается та стратегия фирмы, пpи которой среднее ожидаемое значение выигрыша будет максимальным. Оно находится по правилам теории вероятностей как сумма произведений вероятностей вариантов состояний среды на соответствующие выигрыши. Тогда решающее правило выбора оптимальной стратегии записывается так:

, (1)

где i - индекс (номер) стратегии фирмы;

j - индекс (номер) состояния среды;

n - количество состояний среды;

U_ij - выигрыш, получаемый по i-му решению при j-м состоянии среды.

Если вероятности различных состояний среды неизвестны, то возникает проблема принятия решения в условиях полной неопределённости. Центральным моментом является введение критерия для оценки выбираемого варианта решения. В силу неопределённости состояний среды нужно дать оценку сразу целой строке матрицы выигрышей (платежной матрицы), имея такие оценки для всех строк и сравнивая их, ЛПР может делать выбор. Существует несколько критериев выбора оптимальной стратегии.

Ситуация 2. Выбор стратегии, которая дает максимальный выигрыш из минимальных пpи различных состояниях среды. Выбор решения производится по максиминному критерию Вальда (критерию осторожного наблюдателя). Этот критерий оптимизирует полезность (выигрыш) в предположении, что среда находится в самом невыгодном для фирмы состоянии. По данному критерию решающее правило для определения оптимальной стратегии имеет следующий вид:

(2)

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш пpи наихудшем состоянии среды. Максиминный критерий является крайне осторожным, очень пессимистическим; поэтому предлагаются другие критерии.

Ситуация 3. Требуется в любых условиях максимально избегать риска. Выбор стратегии осуществляется по критерию минимаксного риска Сэвиджа-Ниганса. Этот критерий минимизирует возможные потери (например, недополученную прибыль) пpи условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого. Выбору подлежит стратегия, которая минимизирует максимальный риск. В теории статистических решений применяется специальный показатель, называемый риском. Величину риска будем определять, как изменение выигрыша фирмы пpи данном состоянии среды относительно наилучшего возможного решения. Оптимальным будет такое решение, для которого риск, максимальный пpи различных вариантах среды, окажется минимальным. Для того, чтобы определить риски необходимо построить матрицу выигрышей U = (U_ij). Затем в каждом столбце этой матрицы находят максимальный элемент U_j = U_ij. Из него вычитают значения всех элементов этого столбца. Далее строится матрица рисков R = {R_ij}, где R_ij = U_j - U_ij - величина риска (потерь) от использования стратегии i пpи состоянии среды j. Искомая стратегия фирмы, которая минимизирует риск, определяется из условия:

R_ij. (3)

В случае, если риск (сожаление) определяется, как r_ij = U_ij - U_j, т.е. максимальный элемент j-го столбца вычитают из каждого элемента этого столбца, то искомую стратегию x_i, которая минимизирует сожаление, определяется из условия

. (3*)

Дальнейшее ослабление пессимистичности оценки решений дает критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, который сводится к взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исходов.

Ситуация 4. Требуется найти компромисс между стратегиями поведения перестраховщика и абсолютного оптимиста. В этом случае оптимальным будет решение, для которого окажется максимальным показатель G_i (критерий пессимизма - оптимизма Гурвица):

G_i, (4)

где G_i = k * U_ij + (1- k) * U_ij;

k-заданный коэффициент, который выбирается между 0 и 1.

Критерий Гурвица основан на следующих предположениях: среда может находиться в самом невыгодном для фирмы состоянии с вероятностью k и в самом выгодном - с вероятностью (1-k). При k=1 приходим к стратегии перестраховщика, а при k=0 - к стратегии абсолютного оптимиста. Согласно принципу Гурвица неразумно, приняв во внимание самый маленький выигрыш, не учитывать самый большой, для чего необходимо ввести некоторый коэффициент k (он и выполняет роль вероятности).

Ситуация 5. Вероятности вариантов состояния среды неизвестны и нет основания выделить какой-либо вариант. В данном случае используется критерий недостаточного основания Лапласа. Все состояния среды считаются равновероятными, т.е. все вероятности p(S₁) =...= p(S_j) =...= p(S_n) = 1/n. В результате решающее правило выбора оптимальной стратегии определяется соотношением (1) при условии p(S_j) = 1/n.

Вариант 6

Описание деловой ситуации

Руководство фирмы предполагает выйти на рынок с двумя продуктами (А и Б). Предварительно проведенные маркетинговые исследования показали, что фирме целесообразно выйти на рынок с Продуктом А по цене, равной 120 руб. за единицу товара, а с Продуктом Б - по цене 360 руб. за единицу. Пусть постоянные затраты на производство Продукта А (амортизация оборудования; оплата управленческого персонала; реклама и т.п.) составляют 105 тыс. руб., а для второго вида продукции они равны 210 тыс. руб. Переменные затраты на производство единицы продукта А (расходные материалы и заработная плата рабочих) составляют примерно 75 руб., а для второго продукта - 195 руб.

Маркетинговые исследования показали, что по уровню платёжеспособного спроса рынок может находиться в трех различных состояниях. Значения спроса на продукцию и вероятности различных состояний рынка представлены в табл. 1.

Таблица 1

Состояния рынка

Продукция	Состояния рынка
	Уровень спроса (тыс. шт.)
	S1	S2	S3
Продукт А	6	10	15
Продукт Б	44	40	35
Вероятность состояния рынка	0,4	0,2	0,4

Руководство фирмы, исходя из оценок возможных состояний рынка и собственных возможностей, формулирует три альтернативных стратегии (решения) - X₁, X₂, X₃. Каждая стратегия i фирмы характеризуется определёнными значениями t_hi объемов производства продукта h (см. табл. 2). Требуется выбрать оптимальную стратегию фирмы.

Таблица 2

Стратегии фирмы

Продукция	Стратегии фирмы
	Объем производства (тыс. шт.)
	Х1	Х2	Х3
Продукт А	t11=5	t12=10	t13=20
Продукт Б	t21=45	t22=40	t23=30

Анализ результатов решения задачи

Для решения задачи строится таблица выигрышей (прибылей) фирмы.

Величина прибыли U_ijh, получаемой фирмой от реализации продукта h при стратегии X_i и состоянии рынка S_j, определяется по формуле:

U_ijh = g_h * min (t_hi,d_hj) - (FC_h + AVC_h * t_hi), (5)

где FC_h - постоянные издержки на производство продукта h;

AVC_h - средние переменные затраты на производство единицы продукта h;

g_h - цена единицы продукта h;

d_hj - объём платёжеспособного спроса на продукт h при состоянии рынка S_j;

t_hi – объем производства продукта h при стратегии фирмы X_i.

min (t_hi,d_hj) - определяется наименьшая из двух величин: объем производства продукта h при стратегии X_i и объем спроса на продукт h при состоянии рынка S_j. Если объём спроса d_hj меньше величины объема производства t_hi, то в этом случае продукция будет реализована лишь в объёме d_hj. При этом часть произведенной продукции, равная (t_hi - d_hj), не будет реализована.

Общая прибыль U_ij от реализации всех видов продукции при стратегии X_i и состоянии рынка S_j равна:

U_ij = U_ij1 + U_ij2 + ... + U_ijh + ... + U_ijr, (6)

где r - количество видов продукции, с которыми фирма выходит на рынок.

Для рассматриваемого примера r=2, следовательно, U_ij = U_ij1 + U_ij2.

Результаты расчетов значений прибыли от реализации продукции при различных сочетаниях вариантов стратегии фирмы и состояния рынка:

1) Значение ожидаемой прибыли U₁₁ при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁ рассчитывается следующим образом: в соответствии с выражением (5) величина прибыли U₁₁₁ от реализации продукта А при стратегии X₁ и состоянии рынка S₁ равна:

U₁₁₁ = 120*min (5*10³, 6*10³) - 105*10³ - 75*5*10³ = 120 000 руб.

Аналогично определяется величина прибыли от реализации второго продукта при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁:

U₁₁₂=360*min (45*10³, 44*10³) - 21*10⁴ - 195*45*10³ = 6 855 000 руб.

В итоге, прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁ составит:

U₁₁ = U₁₁₁+U₁₁₂ = 120000 + 6855000 = 6 975 000 руб.

2) Расчет значения ожидаемой прибыли U₁₂ при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₂:

U₁₂₁ = 120*min (5*10³, 10⁴) - 105*10³ - 75*5*10³ = 120 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₁ и состоянии рынка S_2.

U₁₂₂=360*min (45*10³, 4*10⁴) - 21*10⁴ - 195*45*10³ = 5 415 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₂.

U₁₂ = U₁₂₁+U₁₂₂ = 120 000 + 5 415 000 = 5 535 000 руб. – Прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₂.

3) Расчет значения ожидаемой прибыли U₁₃ при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₃:

U₁₃₁ = 120*min (5*10³, 15*10³) - 105*10³ - 75*5*10³= 120 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₁ и состоянии рынка S_3.

U₁₃₂=360*min (45*10³, 35*10³) - 21*10⁴ - 195*45*10³ = 3 615 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₃.

U₁₃ = U₁₃₁+U₁₃₂ = 120 000 + 3 615 000 = 3 735 000 руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₃.

4) Расчет значения ожидаемой прибыли U₂₁ при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₁:

U₂₁₁ = 120*min (10*10³, 6*10³) - 105*10³ - 75*10⁴ = -135 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₂ и состоянии рынка S_1.

U₂₁₂=360*min (44*10³, 40*10³) - 21*10⁴ - 195*40*10³ = 6 390 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₁.

U₂₁ = U₂₁₁+U₂₁₂ = -135 00 + 6 390 000 руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₁.

5) Расчет значения ожидаемой прибыли U₂₂ при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₂:

U₂₂₁ = 120*min (10⁴, 10⁴) - 105*10³ - 75*10⁴ = 345 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₂ и состоянии рынка S_2.

U₂₂₂=360*min (4*10⁴, 4*10⁴) - 21*10⁴ - 195*4*10⁴ = 6 390 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₂.

U₂₂ = U₂₂₁+U₂₂₂ = 345 000 + 6 390 000 = 6 735 000 руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₂.

6) Расчет значения ожидаемой прибыли U₂₃ при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₃:

U₂₃₁ = 120*min (10⁴, 15*10³) - 105*10³ - 75*10⁴= 345 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₂ и состоянии рынка S_3.

U₂₃₂=360*min (35*10³, 40*10³) - 21*10⁴ - 195*40*10³ = 4 590 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₃.

U₂₃ = U₂₃₁+U₂₃₂ = 345 000 + 4 590 000 = 4 935 000 руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₃.

7) Расчет значения ожидаемой прибыли U₃₁ при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₁:

U₃₁₁ = 120*min (20*10³, 6*10³) - 105*10³ - 75*20*10³= -885 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₃ и состоянии рынка S_1.

U₃₁₂=360*min (30* 10³, 44*10³) - 21*10⁴ - 195*30*10³ = 4 740 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₁.

U₃₁ = U₃₁₁+U₃₁₂ = -885 000 + 4 740 000 = 3 885 000 руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₁.

8) Расчет значения ожидаемой прибыли U₃₂ при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₂:

U₃₂₁ = 120*min (20*10³, 10*10³) - 105*10³ - 75*20*10³= -405 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₃ и состоянии рынка S_2.

U₃₂₂=360*min (30* 10³, 40*10³) - 21*10⁴ - 195*30*10³ = 4 740 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₂.

U₃₂ = U₃₂₁+U₃₂₂ =-405 000 + 4 740 000 = 4 335 000 руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₂.

9) Расчет значения ожидаемой прибыли U₃₃ при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₃:

U₃₃₁ 120*min (20*10³, 15*10³) - 105*10³ - 75*20*10³= 195 000 руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₃ и состоянии рынка S_3.

U₃₃₂=360*min (30* 10³, 35*10³) - 21*10⁴ - 195*30*10³ = 4 740 000 руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₃.

U₃₃ = U₃₃₁+U₃₃₂ = 195 000 + 4 740 000 = 4 935 000 руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₃.

Результаты всех проведенных расчетов сведены в таблицу выигрышей:

Таблица 3

Таблица выигрышей

Стратегии фирмы	Прибыль Uij (руб.)
	Состояния рынка
	S1	S2	S3
Х1	6 975 000	5 535 000	3 735 000
Х2	6 255 000	6 735 000	4 935 000
Х3	3 855 000	4 335 000	4 935 000
Вероятность состояния рынка	0,4	0,2	0,4

Результаты решения задачи выбора оптимальной стратегии фирмы при использовании различных критериев в зависимости от условий, в которых принимаются управленческие решения, представлены ниже:

Критерий Байеса-Лапласа. Вероятности различных состояний рынка известны. Выбирается стратегия фирмы, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально (см. формулу (1)).

6 975 000 * 0,4 + 5 535 000 * 0,2 + 3 735 000 * 0,4 = 5 391 000 руб.

6 255 000 * 0,4 + 6 735 000 * 0,2 + 4 935 000 * 0,4 = 5 823 000 руб.

3 855 000 * 0,4 + 4 335 000 * 0,2 + 4 935 000 * 0,4 = 4 383 000 руб.

При заданном распределении вероятностей p(S_j) наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия X₂, следовательно, стратегия X₂ является оптимальной.

Максиминный критерий Вальда. Вероятности различных вариантов спроса на продукцию не известны и требуется выбрать стратегию, которая даёт максимальный выигрыш (прибыль) при различных состояниях рынка. Решающее правило представлено выражением (2). В каждой строке табл. 3 необходимо выбрать элемент с минимальным значением прибыли U_ij. Получена последовательность значений {3 735 000; 4 935 000; 3 855 000}. Оптимальной будет стратегия X₂, при которой максимальное из минимальных значений прибыли равно 4 935 000 руб.

Критерий Сэвиджа-Ниганса. Вероятности состояния рынка неизвестны и требуется в любых условиях максимально избегать риска. Величина риска определяется как изменение прибыли фирмы при данном состоянии рынка относительно наилучшего возможного решения.

По таблице выигрышей для каждого состояния рынка определяется максимальное значение выигрыша (U_j):

Для состояния S₁ – 6 975 000 руб.

Для состояния S₂ – 6 735 000 руб.

Для состояния S₃ – 4 935 000 руб.

Затем определяются потери фирмы (недополученная прибыль) по формуле R_ij = U_j - U_ij.

Результаты расчетов сведены в таблицу рисков (табл. 4).

Таблица 4

Таблица рисков

Стратегии фирмы	Риск Rij (руб.)
	Состояния рынка
	S1	S2	S3
Х1	0	1 200 000	1 200 000
Х2	720 000	0	0
Х3	3 120 000	2 400 000	0

В каждой строке таблицы рисков было выбрано максимальное значение риска: {1 200 000; 720 000; 3 120 000}. Оптимальной будет та стратегия, для которой риск, максимальный при различных вариантах состояния рынка, окажется минимальным. Следовательно, X₂ - оптимальная стратегия.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Вероятности состояний рынка не известны и требуется найти компромисс между стратегиями поведения перестраховщика и абсолютного оптимиста. В этой ситуации оптимальной будет та стратегия, для которой показатель G_i - критерий пессимизма-оптимизма Гурвица принимает наибольшее значение (см. выражение (4)).

Пример определения оптимальной стратегии при значении k=0,25:

G₁(0,25) = 0,25 * 3 735 000 + 0,75 * 6 975 000 = 6 165 000 руб.

G₂(0,25) = 0,25 * 4 935 000 + 0,75 * 6 735 000 = 6 285 000 руб.

G₃(0,25) = 0,25 * 3 855 000 + 0,75 * 4 935 000 = 4 665 000 руб.

При значении коэффициента k=0,25 оптимальной будет стратегия X₂, так как при ней показатель G_i(0,25) достигает наибольшего значения.

Аналогично рассчитаны значения критерия G_i(k) и определены оптимальные стратегии фирмы при других значениях коэффициента k. Результаты расчётов сведены в табл. 5.

Таблица 5