лекция 02

где t может принимать любые значения (- < t < + ).

Перейдем к рассмотрению системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 = 0	(10)
a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 = 0
a31 . x1 + a32 . x2 + a33 . x3 = 0

Очевидно, что такая система допускает нулевое решение: x₁=0, x₂=0, x₃=0 и, следовательно, всегда совместна. Если D ≠ 0, то это решение является единственным. Если же определитель однородной системы равен нулю, то возможны два случая, «созвучные» рассмотренным при анализе системы (1).

1) Система сводится к двум независимым уравнениям (третье является их следствием).

2) Система сводится к одному уравнению (остальные два являются его следствиями).

Первый случай имеет место, когда среди миноров определителя системы есть хотя бы один отличный от нуля, второй – когда все миноры этого определителя равны нулю. В обоих случаях однородная система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 5. Решить систему

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x1 – 3x2 + 4x3 = 0

3x1 – x2 + 7x3 = 0

Имеем

D =	1	2	3	=
	2	-3	4
	3	-1	7

= 1 .	-3	4	-2 .	2	4	+3 .	2	-3	= -17 – 4 + 21 = 0
	-1	7		3	7		3	-1

Следовательно, система имеет решения, отличные от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием).

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x1 – 3x2 + 4x3 = 0

Отсюда по формуле (9) получаем:

x1 =	2	3	. t = 17t
	-3	4

x2 =	1	3	. t = 2t
	2	4

x3 =	1	2	. t = -7t
	2	-3

Второй указанный выше случай имеет место тогда, когда коэффициенты при неизвестных x_i пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого умножением его частей на число k.

Пример 6. Система

x1 + x2 + x3 = 0

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

3x1 + 3x2 + 3x3 = 0

имеет бесконечно много ненулевых решений. Она сводится к одному уравнению: х₁ + x₂ + x₃ = 0. Любое решение состоит из трех чисел х₁, x₂ , x_3, где х₁ и x₂ - какие угодно, а х₃ = - х₁ - x_2.

В заключение вспомним известный вам по школьному курсу математики способ решения линейной системы, называемый методом Гаусса. Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе в треугольном виде путем последовательного исключения неизвестных. Эти действия называют прямым ходом. Из полученной «треугольной» системы, переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Пример 7. Решить систему

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

2x1 + 3x2 – 4x3 = -5

3x1 + x2 + x3 = 3

Чтобы исключить х₁ из второго и третьего уравнений, надо вычесть из них первое, умноженное соответственно на 2 и на 3:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

- x2 – 10x3 = -9

-5x2 – 8x3 = -3

Для дальнейших преобразований удобно умножить второе и третье уравнения на -1:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

x2 + 10x3 = 9

5x2+ 8x3 = 3

Видим, что для исключения x₂ из третьего уравнения, нужно вычесть из него второе, умноженное на 5. В результате получим «треугольную» систему:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

x2 + 10x3 = 9

42x3 = 42

Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок, находим неизвестные: x₃ = 1, x₂ = -1, x₁ = 1.