лекция 01

Свойство 9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

D =ai1 . Ai1+ai2 .Ai2+...+ain.Ain

(4)

или

D =a1i .A1i+a2i .A2i+...+ani.Ani

(5)

Эти соотношения называются разложениями определителя по элементам i-ой строки или j-ого столбца. Тем самым вычисление определителя порядка n сводится к вычислению n определителей порядка n-1.

Согласно формулам (4) и (5),

D = a11 . A11+a21 . A21+a31 . A31	D = a11 . A11+a12 . A12+a13 . A13
D = a12 . A12+a22 . A22+a32 . A32	D = a21 . A21+a22 . A22+a23 . A23
D = a13 . A13+a23 . A23+a33 . A33	D = a31 . A31+a32 . A32+a33 . A33

Чтобы доказать, например, первое из этих равенств, достаточно записать правую часть формулы (2) в виде:

D = a₁₁ ^. (a₂₂ ^. a₃₃ - a₂₁ ^. a₃₂) + a₂₁ ^. (a₁₃ ^. a₃₂ - a₁₂ ^. a₃₃) +

+ a₃₁ ^.(a₁₂ ^. a₂₃ - a₁₃ ^. a₂₂)

Величины, стоящие в скобках, являются алгебраическими дополнениями элементов а₁₁, а₂₁, а₃₁. Таким образом,

D =a11 .	a22	a23	- a21 .	a12	a13	+ a31 .	a12	a13		(2а)
	a32	a23		a32	a33		a22	a23

Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или какой-нибудь строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (или другой строки) равна нулю. Докажем, например, что сумма произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Для этого разложим определитель (2) по элементам первого столбца:

D = a₁₁ ^. A₁₁+a₂₁ ^. A₂₁+a₃₁ ^. A₃₁

Алгебраические дополнения А₁₁, А₂₁, А₃₁ не зависят от самих элементов а₁₁, а₂₁, а₃₁. Поэтому, если в обеих частях равенства эти числа заменить произведениями b₁, b₂, b₃, то получим верное равенство:

b1	a12	a13
b2	a22	a23	= b1 . A11 + b2 . A21 + b3 . A31.
b3	a32	a33

Если в качестве b₁, b₂, b₃ взять элементы второго столбца и учесть, что, согласно свойству 3, определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, то получим:

D = a₁₂ ^. A₁₁ + a₂₂ ^. A₂₁ +a₃₂ ^. A₃₁=0,

что и требовалось доказать.

Еще раз напомню, что представленные свойства определителей относятся к определителям любого порядка.

Каждый раз, заканчивая изложение этой лекции, первой по курсу математики для студентов-технологов и конструкторов факультета ТШП, я с удовольствием вспоминаю, что большинство студенток(ов), осмысливая ее содержание, осознавали, что вычисление определителей при помощи разложения по элементам столбца или строки можно упростить, если предварительно преобразовать этот определитель, используя свойство 8. Умножая элементы столбцов или строк на некоторый множитель и прибавляя их затем к соответствующим элементам других столбцов или строк, они добивались того, чтобы некоторые из элементов полученного определителя оказывались равными нулю. Выполняя самостоятельную работу №1, в которую включено вычисление определителя четвертого порядка, они трехкратным применением такой операции получали определитель, равный данному, но у которого три элемента одного столбца(или одной строки) оказывались равными нулю. Таким образом, вычисление сводилось к подсчету лишь одного минора третьего порядка, так как три других минора умножались на элементы, равные нулю.

Вот как излагает ход своих мыслей отличница - "суперзвезда" Лена Гладкова (КШ-062), вычисляя определитель (пример 4).

D =	3	-3	-2	-5
	2	5	4	6
	5	5	8	7
	4	4	5	6

Произведем следующие действия:

1. Из элементов первого столбца вычтем элементы второго столбца, получим:

	6	-3	-2	-5
D =	-3	5	4	6
	0	5	8	7
	0	4	5	6

2. К элементам первой строки прибавим удвоенные элементы второй строки:

	0	7	6	7
D =	-3	5	4	6
	0	5	8	7
	0	4	5	6

3. Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

		7	6	7
D = (-1) . (-3) .		5	8	7
		4	5	6

4. Из элементов первой строки вычтем элементы второй строки:

	2	-2	0
D = 3 .	5	8	7
	4	5	6

5. К элементам второго столбца прибавим элементы первого столбца:

	2	0	0
D = 3 .	5	13	7
	4	9	6

6. Разложим этот определитель по элементам первой строки:

	13	7
			D = 3 . 2 .		9	6	= 6 . (13 . 6-7. 9) = 6 . 15 = 90

Все бы так!

В следующих лекциях я продолжу знакомить вас с мастерством моих учениц, проявленных при выполнении различных упражнений самостоятельной работы № 1.