6. Определение определителя n-го порядка

Определителем n-ого порядка называется сумма произведений элементов матрицы, таких что они взяты с определенным знаком и в каждое произведение не входят никакие два элемента, которые находятся в одной строке или в одном столбце.

Тогда, знак перед произведением определяется следующим образом:

Рассмотрев матрицу сверху вниз (с первой строки по последнюю) выписываются индексы их столбцов. Затем, имея возможность переставлять лишь соседние элементы друг с другом, мы создаем натуральный ряд с единицы по n. Четность количества перестановок дает нам плюс перед произведением, нечетность - минус соответственно.

Пример 1:

Нумерация происходит сверху вниз, значит наши индексами будут:

1, 2, 3

Количество перестановок для получения натурального ряда равно нулю, а ноль - четное число; слагаемое будет идти с плюсом в определителе.

Пример 2:

Нумеруя сверху вниз, какие индексы столбцов будут у нас множителей?

2, 1, 3

Переставляем соседние элементы для получения натурального ряда:

1, 2, 3

Суммарное количество перестановок - нечетное, соответственно перед слагаемым будет стоять минус.

7. Свойства определителя n-го порядка

Свойства определителя n-ного порядка:

• Если все элементы некоторой строки/столбца умножить на одно и то же число, то и определитель умножится на это число ;

• Следственно, если хотя бы одна строка/столбец матрицы состоит из нулей, то определитель матрицы равен нулю ;

• Если определитель получен из другого определителя путем перестановки двух строк, то он меняет знак ;

• Определитель, содержащий две строки, которые могут быть получены друг из друга, равны нулю ;

• Если в определителе некоторая i-тая строка/столбец является линейной комбинацией двух других, то можно разделить определитель на сумму двух других определителей, где i-тая строка будет разделена на две изначальные:

• Если одна строка определителя равна линейной комбинации двух других его строк, то определитель равен нулю ;

• Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

8. Критерий единственности решения системы n уравнений с n неизвестными

Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которого отличен от нуля, имеет единственное решение, причем:

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов равен n.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

9. Основная теорема для определителей (теорема Лапласа)

Пусть C – квадратная матрица третьего порядка (n-нного порядка):

Тогда минором M_jⁱ будет называться такая определитель, который взят из C, но с элементами на пересечении i-тых строк и j-тых столбцов.

Например:

Дополнительным минором будет определитель, но из которого вычеркнуты i-ая строка и j-ый столбец.

А алгебраическим дополнением элемента a_ij будет:

Например:

Теорема Лапласа. Пусть D – определитель n-го порядка, в котором произвольно выбраны k строк (или столбцов). Тогда определитель D равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Доказательство:

Пусть выбраны строки с номерами i₁, i₂, … , i_k.

Произведение любого минора k-ого порядка, расположенного в этих строках, на его алгебраическое дополнение - состоит из некоторого числа элементов определителя, взятых с теми же знаками, с какими они входят в определитель.

Возьмем a₁₁, a₂₂ … a_nn - произвольный член определителя. Выберем те множители, которые принадлежат выбранным строкам:

a_i1, a_i2 … a_ik - оно однозначно задаст номера столбцов минора (a_i1, a_i2, … , a_ik). Таким образом любой член определителя входит в произведение вполне определенного минора из выбранных строк на его алгебраическое дополнение.

P.S. Данное доказательство взято со слайдов Седова, и для меня оно не имеет никакого смысла - скорее всего из-за путаницы с минорами. Гораздо более подробное и логичное объяснение:

Как многие умники и умницы могли заметить - оно на английском. Что вам делать, пока я занимаюсь переводом и упрощением - решать вам.