5. (Карина) Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.

1) Интеграл от рациональной функции, зависящей от sinx и cosx

Теорема (1) вычисляется в элементарных функциях

Док – во: Универсальная тригонометрическая подстановка

Подставим в (1):

Интеграл (1) вычисляется в элементарных функциях ч.т.д.

Замечание: использование элементарной подстановки обычно приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых специальных случаях используют другие замены.

Специальные случаи:

I.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

Заменяем

(1) =

Замена:

вычисляется в элементарных функциях

II.

Замена:

Доказывается аналогично

III. члена по обеим переменным

Таким образом

(1) интеграл вычисляется в элементарных функциях

Замена

6. (Геля) Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману.

Выберем некоторые разбиения

Существует конечный предел (и он не зависит от выбора Т и выбора точек )

f не является ограниченной на f не является ограниченной на какой-то из

Для ограниченной бином считает, что f не ограничена на

Рассмотрим

С другой стороны,

7. (Алина) Суммы Дарбу и их свойства.

f R[a;b] => f ограничена на [a;b] Далее будем полагать, что f ограничена на [a;b] Введем обозначения: m_x = inf f(x) -минимум x [x_k;x_k+1]

M_x = sup f(x) -максимум x [x_k;x_k+1] Образуем следующие суммы: s(T) = m_k*Δx_k - нижняя сумма Дарбу

S(T) = M_k*Δx_k - верхняя сумма Дарбу

Свойства сумм Дарбу:

Доказательство:

s(T) ЧТД

Доказательство:

Для нижней суммы Дарбу док-во аналогино

2⁰ 1⁰ 2⁰

ЧТД

Множество всех нижних сумм Дарбу ограниченно сверху

Множество всех нижних сумм Дарбу ограниченно снизу

Опр. называется нижним интегралом Дарбу, а верхним интегралом Дарбу.

4⁰

Опр. Прямой суммой множеств Х₁, Х₂, называется множество

Утверждение(Лемма)

Если множество Х₁ и Х₂ ограниченны, то

5⁰

Доказательство:

ЧТД

Для нижней суммы Дарбу доказательство аналогично

8. (Карина) Критерий интегрируемости по Риману.

Теорема

Доказательство:

Не зависит от T и )

Перейдём к

Перейдём к

(Крайние части неравенства

0

ЧТД

Следствие 1

Если

Следствие 2

Если

Следствие 3

Рассмотрим