Вывод формулы для расчета погрешности косвенных измерений

(при расчете функции нескольких аргументов,

измеренных непосредственно).

Задана формула, по которой рассчитывается функция Y:

Проведено “n” измерений всех аргументов [x₁, x₂,…, x_k], известны СКО S(х_k) по каждому из аргументов.

Чему равно СКО функции S(Y)=?

Эту задачу решим вначале для функции двух аргументов Y=f [x₁, x₂].

Ограничения:

1)погрешности аргументов Δx_k чисто случайные и независимые;

2)погрешности аргументов Δx_k существенно меньше значений аргументов Х_k;

3)плотность распределения погрешностей Δx_k симметрична относительно центра;

4)функция Y непрерывна в заданном диапазоне и имеет производные в каждой точке.

Тогда эту функцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням производных.

Предположим, нам известны точные значения функции Y₀ и аргументов x₁⁰, x₂⁰.

Тогда погрешности в результате 1го измерения получим в виде:

Y₀ + Δy₁ =f( x₁⁰, x₂⁰ ) + отсюда погрешность Δy₁ в результате 1го измерения

(пренебрегаем членами разложения производных более высокого порядка, кроме 1го):

Аналогично, для 2го измерения:

Дляn-го измерения:

- 30 -

Возведем каждое из этих уравнений (левые и правые части) в квадрат и сложим, получим:

Слагаемое:

при достаточно большом значении числа измерений “n” стремится к нулю, с учетом ограничения №3.

Разделив левую и правую часть уравнения на “n”, получим:

Очевидно, что полученный вывод можно распространить и на общий случай функцииYот “k” аргументов:

Дисперсия функции «k» аргументов равна сумме произведений квадратов частных производных функции по аргументам на дисперсии соответствующих аргументов.

СКО функции:

Полученный результат распространяют также на все виды нормированных погрешностей, например, рассчитываемых по классам точности приборов, измеряющих величины аргументов функции

- 31 -

ПРИЛОЖЕНИЕ П2

К оценке динамических характеристик датчиков

температуры.

1.Исходное состояние: установившаяся температура датчика θ1,

температура в объекте θ2 > θ1, см рис. П2-1.

2.В момент времени t_i =0 датчик помещается в объект, изменение температуры датчика во времени θ_i =f(t_i) описывается диф. уравнением:

, (П2-1)

соответствующая передаточная функция W1(p):

, (П2-2)

где k – статический коэффициент передачи, мы будем считать k=1.

Постоянная времени «Т1» является параметром динамической характеристики датчика и определяется физикой процесса теплообмена:

, с (П2-3)

где m – масса датчика, кг;

с – удельная теплоемкость датчика, Дж/(кг*гр);

S – площадь внешней поверхности датчика, м² ;

ξ – коэффициент теплоотдачи внешней поверхности, Вт/( м² *гр).

При условии θ2 > θ1, переходный процесс нагрева датчика:

, (П2-4)

Считается, что переходный процесс практически заканчивается за время:

t_П≈3*Т1

При этом погрешность Δ(θ2) измерения температуры θ2 составит:

Δ(θ2) = - 0.05*(θ2 - θ1).

Справочные данные для расчета:

удельная теплоемкость материалов «с», Дж/(кг*гр):

тяжелые металлы (медь, железо, латунь) с≈ 400;

алюминий, фарфор, слюда с≈ 800;

органические материалы (пластмассы) с≈ 1300;

коэффициент теплоотдачи «ξ», Вт/( м² *гр):

в спокойной среде (воздух) ξ ≈10;

при вентиляции воздуха ξ ≈30:

при перемешивании воды ξ≈ 300.

- 32 -

Пример расчета постоянной времени «Т1»:

Масса датчика m= 0.3 кг, защитный чехол из стали,

т.е. с = 400 Дж/(кг*гр), объект – водяной термостат с активным перемешиванием, т.е ξ ≈300 Вт/( м² *гр).

Начальная температура датчика θ1 =20°С, установившаяся температура в термостате θ2 =80°С.

Площадь внешней поверхности датчика: S=πDL≈0.01 м² .

Тогда имеем:

Т1 = 0.3*400/(0.01*300) = 40 с.

Следовательно, переходный процесс нагрева датчика в этих условиях составит:

t_П≈3*Т1 = 120 с, т.е 2 мин.

При этом, по истечении времени t_П= 2 мин погрешность измерения температуры θ2 будет составлять:

Δ(θ2) = - 0.05*(θ2 - θ1)= -0.05*(80-20) = -3°С,

т.е. вторичный прибор будет показывать температуру 77 °С вместо 80°С.

При измерении температуры других объектов, например, при измерении температуры воздуха, величина «Т1» будет существенно выше.

В ГОСТах на датчики температуры величины «Т1» оцениваются по экспериментальным данным по водяному термостату.

В связи с тем, что фактически переходный процесс изменения температуры датчика имеет более сложный характер по сравнению с уравнением (П2-1), для уменьшения погрешности в модель динамики датчика добавляют т.наз. емкостное запаздывание «τ», и передаточная функция модели датчика имеет вид:

(П2-5)

Соответствующая переходная характеристика нагрева имеет вид:

, (П2-6)

причем если t_i<τ, то Θm_i=0.

- 33 -

ПРИЛОЖЕНИЕ П3

Основные положения и терминология [8].

1.Метрология – (от гречес кого metron-мера и logos – учение) наука об измерениях, измерительных приборах, оценке точности измерений.

Метрологическое обеспечение – установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений.

ГОСТ 1.25-76 –«Метрологическое обеспечение. Основные положения»

2.Стандартизация:

Стандартизация – деятельность, направленная на достижение полного соответствия производственной деятельности соответстующим стандартам. Целью стандартизации является повышение качества производства.

Стандарт– нормативно-технический документ, определяющий требования к объектам стандартизации: продукции, правилам производства продукции, применению продукции. Утвержденные государственные и отраслевые стандарты (ГОСТы и ОСТы) являются обязательными на всей территории РФ. ГОСТы в РФ утверждает Федеральное агенство по техническому регулированию и метрологии (Ростехрегулирование).

Примеры единых государственных систем стандартов:

Государственная система стандартизации (ГСС), Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ), Единая система конструкторской документации (ЕСКД), Единая система технологической подготовки производства (ЕСТПП), Единая система классификации и кодирования технико-экономической и социальной информации (ЕСКК ТЭСИ), Государственная система стандартов безопасности труда (ГССБТ) и др.

ОСТы разрабатываются соответствующими министерствами (пример – СНиП – строительные нормы и правила) на базе ГОСТов.

Стандарты предприятий и объединений предприятий (СТП) разрабатываются предприятиями и являются обязательными к применению только для этих предприятий.

Международные стандарты (ИСО/МЭК) разрабатываются Международной организацией по стандартизации (ISO), международной электротехнической комиссией (МЭК) и др. организациями.

3.Сертификация – деятельность специально уполномоченного органа власти, направленная на определение, проверку и документальное подтверждение действующих квалификационных требований к персоналу, процессам, процедурам и продукции.

Сертификат соответствия – документ, подтверждающий соответствие сертифицированной продукции установленным требованиям.

- 34 -

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.Государственная система обеспечения единства измерений.

МЕТРОЛОГИЯ.Основные термины и определения.РМГ 29-99.

ИПК Издательство стандартов,Минск,2000.

2.Карташова А.Н., Дунин-Барковский И.В., Технологические

измерения и приборы в текстильной и легкой промышленности.,

М., «Легкая и пищевая промышленность»,1984

3.Иванова Г.М. и др.Теплотехнические измерения и приборы.

М.,ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1984

4.Электрические измерения неэлектрических величин,

под ред. Новицкого П.В.,Л.,ЭНЕРГИЯ, 1975

5.Вентцель Е.С. Теория вероятностей,

М., НАУКА,1964

6.Автоматизация технологических процессов легкой

промышленности,под ред. Плужникова Л.Н., М., Легпромбытиздат,

1993

7.Каталог «Приборы и средства автоматизации» (в восьми томах),

М., НАУЧТЕХЛИТИЗДАТ,2004-2005.

8.Сарафанова Е.В., Метрология, стандартизация и сертификация,

Учебное пособие, М., РИОР, 2005

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Кочеров Анатолий Васильевич, к.т.н.

МЕТРОЛОГИЯ и ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА