2.3. Самостоятельно исследуем влияние ширины петли гистерезиса нелинейного элемента на возникновение автоколебаний в системе.

Для исследования влияния ширины петли гистерезиса нелинейного элемента необходимо использовать НЭ 4, с параметрами B = 5; c = 5.

Из рекомендаций в методических указаниях берем h=8.

Рис. 16. Модель НЭ 4 с отображением заданных параметров для объектов Relay1 и Relay2

Опытным путём найдём минимальное значение относительной величины ширины петли гистерезиса , при которой возникают автоколебания. Зафиксируем параметр и зададим произвольные начальные условия системы ( ). При исходном значении с = 5, в системе наблюдаются автоколебания.

Рассматривая фазовый портрет при различных увеличивающихся значениях, соответствующих уменьшению петли гистерезиса, получаем, что при значении параметра с = 5.9 автоколебания пропадают, что соответствует . На рис. 19 изображён фазовый портрет при и НУ ( ), а на рис. 20 – график процесса x(t):

Рис.19. Фазовый портрет при и НУ ( )

Рис.20. График процесса x(t) при и НУ ( )

Из графика на рис. 20 можно определить, что период автоколебаний системы равен 2.9 сек, а амплитуда равна 15.7.

2.4. Увеличим коэффициент передаточной функции в 5 раз ( ) при . При неизменных значениях параметра h = 8, для этого случая величина с = 3.84 при . Пи НУ ( ) построим фазовый портрет и график процесса x(t) (рис. 21 и 22):

Рис.21. Фазовый портрет при ; и НУ ( )

Рис.22. График процесса x(t) при ; и НУ ( )

Из графика на рис. 22 можно видеть, что при увеличении в 5 раз, в 2 раза, период автоколебаний системы составит 2.9 сек, а амплитуда равна 82, то есть существенно увеличилась амплитуда автоколебаний, примерно в 5 раз, а период остался, практически, без изменения.

2.5. Самостоятельно проведём исследование автоколебаний в системе приближённым амплитудно-частотным методом (методом Гольдфарба).

В соответствии с методом Гольдфарба пересечение амплитудно-фазовой характеристики линейной части модели и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента свидетельствует о наличии решения уравнения автоколебаний:

Полученная выше модель Гаммерштейна исходной системы представлена на рис. 23, а передаточные функции её звеньев – соотношениями:

Рис.23. Структурная схема исходной системы, приведённая к виду модели Гаммерштейна

В соответствии с номером задания и методическими указаниями найдём эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента.

Для нелинейного элемента НЭ 3:

где

Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:

Определим комплексный коэффициент усиления линейной части системы с учётом отрицательной обратной связи:

Для построения АФХ линейной части системы и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента самостоятельно воспользуемся Mathcad. После задания выражений линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента в рабочем поле Mathcad добавим объект «график X-Y», с помощью которого отобразим на комплексной плоскости АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента.

Перед объектом «график Х-У» укажем требуемый диапазон значений и шаг расчётов для частоты и амплитуды .

Рис.24. АФХ и [-z(A)] для п. 5 а) задания

Видим, что имеется пересечение двух характеристик – это свидетельствует о наличии автоколебаний.

Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров и на соответствующих характеристиках в точке их пересечения:

Рис.25. Определение параметров автоколебаний для п. 5 а) задания

Видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний и частоте , откуда период автоколебаний получается равным Т = 3.3 c. Поскольку при пересечении характеристика выходит из области, ограниченной , то автоколебания являются устойчивыми.

Рассмотрим следующий случай задания – п. 5 б): система с параметрами п. 3 при

В этом случае изменяется только параметр с = 5.9 нелинейного элемента. Найдём эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента:

где

Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:

АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента будет иметь вид:

Рис.26. АФХ и [-z(A)] для п. 5 б) задания

Видим, что имеется пересечение двух характеристик, что свидетельствует о наличии автоколебаний.

Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров и на соответствующих характеристиках в точке их пересечения:

Рис.27. Определение параметров автоколебаний для п. 5 б) задания

Точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний и частоте , откуда период автоколебаний получается равным Т = 2.99 c. Поскольку при пересечении характеристика входит в область, ограниченную , то автоколебания являются неустойчивыми.

Последний случай задания – п. 5 в): система с параметрами п. 4 при , .

В этом случае изменяется параметр с = 3.84 нелинейного элемента и передаточная функция линейной части модели.

Найдём эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента:

где

Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:

Определим комплексный коэффициент усиления линейной части системы:

АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента будет иметь вид:

Рис.28. АФХ и [-z(A)] для п. 5 в) задания

Видим, что имеется пересечение двух характеристик, что свидетельствует о наличии автоколебаний. Согласно критерию Гольдфарба, они являются устойчивыми.

Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров и на соответствующих характеристиках в точке их пересечения:

Рис.29. Определение параметров автоколебаний для п. 5 в) задания

Видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний и частоте , откуда период автоколебаний получается равным Т = 2.61 c. Поскольку при пересечении характеристика выходит из области, ограниченной , то автоколебания являются устойчивыми.

2.6. Для составления сравнительной таблицы необходимо самостоятельно пересчитать полученные в п 2.5 величины амплитуды автоколебаний, В результате пересчёта амплитуды автоколебаний посредством формулы ,

где частота автоколебаний, была составлена сравнительная таблица результатов исследования автоколебаний различными методами:

Таблица 2: Сравнительная таблица результатов исследования автоколебаний различными методами

			Исходные параметры
Моделирование	Амплитуда	24.5		15.7		82
	Период, с	3.3		2.9		2.9
Метод Гольдфарба	Амплитуда	27.1		7.28		90.15
	Период, с	3.3		2.99		2.61

Различия амплитуд и периодов автоколебаний, полученных двумя методами, объясняются тем, что линейная часть системы не является идеальным фильтром низких частот, что лежит в основе исходного предположения метода Гольдфарба.