пр 1.1, Стешенко (екон)
.docx
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Кафедра економетрики
Практичне заняття 1.1
«Побудова простої лінійної економетричної моделі»
Виконала студентка 3 курсу 1 групи
Економічного факультету
Стешенко Тетяна Олександрівна
Київ 2023
Практична робота 1.1
«Побудова простої лінійної економетричної моделі»
Зміст завдання: За вихідними даними побудовати економетричну модель залежності витрат ресурсів на одиницю продукції (у) від рівня фондомісткості продукції (х) :
1. побудувати просту лінійну економетричну модель y = a 0 + a 1 x 1 , визначивши оцінки параметрів a 0 , a 1 , виходячи з методу найменших квадратів;
2. дати економічну інтерпретацію одержаних параметрів;
3. визначити коефіцієнт еластичності та пояснити його;
4. обчислити показники тісноти зв’язку між результативною ознакою та чинником (коефіцієнт та індекс кореляції), перевірити на суттєвість коефіцієнт кореляції, пояснити їх;
5. перевірити суттєвість параметрів моделі та побудувати інтервали довіри для параметрів узагальненої економетричної моделі.
Розв’язання практичної роботи:
Вихідні і розрахункові дані для побудови економетричної моделі
табл. 1.1X№ п∕п |
хі |
уі |
хі² |
уі² |
хіуі |
хі - х |
уі – у |
(хі - х )² |
(хі – х )* |
ŷі |
ui |
ui² |
(уі - y )² |
(ŷі – y )² |
ŷі – y |
(уі – у) |
|||||||||||||||
1 |
7,4 |
5,1 |
54,76 |
26,01 |
37,74 |
-8,48 |
-1,26 |
72,03 |
114,82 |
5,41 |
-0,31 |
0,09 |
1,59 |
0,9 |
-0,95 |
2 |
13,4 |
4,5 |
179,56 |
20,25 |
60,3 |
-2,48 |
-1,86 |
6,18 |
21,46 |
6,08 |
-1,58 |
2,51 |
3,47 |
0,08 |
-0,28 |
3 |
15,4 |
5,4 |
237,16 |
29,16 |
83,16 |
-0,48 |
-0,96 |
0,23 |
0,22 |
6,3 |
-0,91 |
0,82 |
0,93 |
0,0030 |
-0,05 |
4 |
17,6 |
5,8 |
309,76 |
33,64 |
102,08 |
1,71 |
-0,56 |
2,93 |
0,92 |
6,55 |
-0,75 |
0,57 |
0,32 |
0,04 |
0,2 |
5 |
17,3 |
6,2 |
299,29 |
38,44 |
107,26 |
1,41 |
-0,16 |
1,99 |
0,05 |
6,52 |
-0,32 |
0,10 |
0,03 |
0,02 |
0,2 |
6 |
18,4 |
7,2 |
338,56 |
51,84 |
132,48 |
2,51 |
0,83 |
6,31 |
4,42 |
6,64 |
0,56 |
0,31 |
0,7 |
0,08 |
0,3 |
7 |
10,4 |
7,8 |
108,16 |
60,84 |
81,12 |
-5,48 |
1,43 |
30,11 |
62,22 |
5,74 |
2,05 |
4,21 |
2,07 |
0,38 |
-0,61 |
8 |
13,5 |
5,2 |
182,25 |
27,04 |
70,2 |
-2,38 |
-1,16 |
5,7 |
7,7 |
6,09 |
-0,89 |
0,80 |
1,35 |
0,07 |
-0,27 |
9 |
15,2 |
5,7 |
231,04 |
32,49 |
86,64 |
-0,68 |
-0,66 |
0,47 |
0,21 |
6,28 |
-0,58 |
0,34 |
0,44 |
0,01 |
-0,08 |
10 |
17,1 |
6,8 |
292,41 |
46,24 |
116,28 |
1,21 |
0,43 |
1,47 |
0,28 |
6,49 |
0,30 |
0,09 |
0,19 |
0,02 |
0,13 |
11 |
18,3 |
6,7 |
334,89 |
44,89 |
122,61 |
2,41 |
0,33 |
5,82 |
0,66 |
6,63 |
0,07 |
0,004 |
0,11 |
0,07 |
0,27 |
12 |
11,4 |
7,1 |
129,96 |
50,41 |
80,94 |
-4,48 |
0,73 |
20,13 |
10,95 |
5,86 |
1,24 |
1,54 |
0,54 |
0,25 |
-0,5 |
13 |
16,2 |
6,1 |
262,44 |
37,21 |
98,82 |
0,31 |
-0,26 |
0,09 |
0,01 |
6,39 |
-0,29 |
0,09 |
0,07 |
0,001 |
0,03 |
14 |
19,8 |
7,2 |
392,04 |
51,84 |
142,56 |
3,91 |
0,83 |
15,31 |
10,74 |
6,79 |
0,4 |
0,16 |
0,70 |
0,19 |
0,44 |
15 |
20,4 |
6,9 |
416,16 |
47,61 |
140,76 |
4,51 |
0,53 |
20,36 |
5,88 |
6,86 |
0,03 |
0,0001 |
0,29 |
0,25 |
0,5 |
16 |
22,4 |
8,1 |
501,76 |
65,61 |
181,44 |
6,51 |
1,73 |
42,41 |
128,03 |
7,09 |
1,009 |
1,02 |
3,02 |
0,53 |
0,73 |
∑ |
254,20 |
101,80 |
4270,20 |
663,52 |
1644,39 |
0,00 |
0,00 |
231,60 |
368,61 |
101,79 |
0,01 |
12,66 |
15,82 |
2,89 |
-0,01 |
Сер.зн. |
15,88 |
6,36 |
266,88 |
41,47 |
102,77 |
х |
х |
14,47 |
23,03 |
6,36 |
х |
х |
0,98 |
0,18 |
х |
Система нормальних рівнянь:
nâ0 + â1∑хi =Σ yi ; 16â0 + â1 * 254,20 = 101,80;
â0 ∑хi + â1∑хi ²= Σ yi xi ; â0 * 254,20 + â1 * 4270,20 = 1644,39;
a0 = ȳ - a1 * x̄
a0 = 6,3625 - 0,111799 * 15,8875
a0 ≈ 6,3625 - 1,7766
a0 ≈ 4,5859
a1 = (Σхіуі - n * x̄ * ȳ) / (Σхі² - n * x̄²)
a1 = (1644,39 - 16 * 15,8875 * 6,3625) / (4270,20 - 16 * (15,8875)²)
a1 = (1644,39 - 1617,2) / (4270,20 - 4027,213)
a1 = 27,19 / 242,987
a1 ≈ 0,111799
Економетрична модель має вигляд (для фактичних значень незалежної змінної)
Y = 3,8 + 0,5 x + u.
Скориставшись альтернативним способом обчислення за допомогою відхилень середніх арифметичних, одержимо:
â1 = = 27,19 / 242,987 ≈0,111799,
де â0 знаходиться з рівняння :
â0 = - â1 х = 6,3625 - 0,111799 * 15,8875 = 4,5859.
Оскільки вільний член моделі â0 ≠ 0 то рівень витрат на одиницю продукції не є строго пропорційним до рівня фондомісткості, â1 = 0,1 показує, що граничне збільшення витрат при зростанні фондомісткості продукції на 1 ум. од. становить 0,1 ум. од.
Еластичність витрат щодо фондомісткості продукції визначається коефіцієнтом еластичності :
Е = / ;
∆y = максимальне значення y - мінімальне значення y;
∆x = максимальне значення x - мінімальне значення x;
∆y = 7,8 - 4,5 = 3,3;
∆x = 22,4 - 7,4 = 15,0;
E = (3,3 / 6,3625) / (15,0 / 15,8875) ≈ (0,5189) / (0,9441) ≈ 0,5505
Значення цього коефіцієнта слід тлумачити так : при збільшенні фондомісткості продукції на 1 % витрати на одиницю продукції зростуть на 0,55 %.
Залишки обчислюються згідно з рівністю :
ui = yi – ŷi.
Оцінка дисперсії залишків подається так :
= = 12,66/ (16 - 2) ≈ 0,904285714.
Для залишків ui можна задати певну функцію закону розподілу, наприклад функцію нормального розподілу.
Оцінкою коефіцієнта кореляції є вибірковий коефіцієнт кореляції, який можна обчислити за формулою :
r = ;
= (∑x² / n) - (x̄)² = (4270,20 / 16) - (15,8875)² = 266,2625 - 252,20066406 ≈ 14,06183594; = 17,8258;
= σ²y = (∑y² / n) - (ȳ)² = (663,52 / 16) - (6,3625)² = 41,595 - 40,45964063 ≈ 1,135359375; =9,0532 ;
r = = (1644,39 / 16 - 15,8875 * 6,3625) / (√14,06183594 * √1,135359375) ≈ 1,69367187 / 3,99416432 ≈ 0,4239571.
Оскільки коефіцієнт кореляції додатній зв’язок між досліджуваними ознаками прямий. Він прямує до 0,5, а це свідчить про про не тічний зв’язок між ознаками.
Вибірковий коефіцієнт кореляції є точковою оцінкою коефіцієнта кореляції і тому потребує перевірки. Вона базується на критерії Стьюдента за формулою :
t= ,
де r −вибірковий коефіцієнт кореляції; n-m− число ступенів вільності.
Якщо t › tтабл. α , де tтабл. α − відповідне табличне значення t розподілу з (n –m) ступенями вільності, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежною змінними моделі. Для нашого прикладу :
t= = 0,4239571 * √((16 - 2) / (1 - (0,4239571)²)) = 0,4239571 * √(17,0731707317) ≈ 0,4239571 * 4.13306918913 ≈ 1.7523501595.
Табличне значення t − критерія для рівня значущості α =0,05 і n−m=14 ступенів вільності дорівнює 2,145. Оскільки t < tтабл. α робимо висновок, що коефіцієнт кореляції є значущим і зв’язок між x та y не існує.
Для аналізу якості опису існуючої залежності між двома ознаками часто використовують індекс кореляції. Він розраховується за формулою :
= √2,8947/15,81750 = 0,427792≈0,98.
Оскільки коефіцієнт кореляції прямує до 0,5 робимо висновок, що між досліджуваними ознаками існує не тісний зв’язок. Виконується рівність між коефіцієнтом кореляції r і індексом кореляції η, що підтверджує наявність прямого лінійного, тісного зв’язку між досліджуваними ознаками.
Перевірку гіпотези про значущість параметрів економетричної моделі можна виконати згідно з t- критерієм:
tj= .
Обчислене значення t- критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня довіри і n-m ступенів вільності. Якщо tфакт> tтабл, то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.
Дисперсії параметрів економетричної моделі можна визначити за формулами:
= = (0,9043 * 4270,20) / (16 * 4270,20 - 254,20²) = ≈ 3870,3832 / (68323,2 - 64516,8) ≈ 3870,3832 / 3812,4 ≈ 1,04209; =1,02083;
= = ≈ 0,0039075903, =0,0625107.
Отже, перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл.. 1
t1= = (0,111799- 0) / 0,0625107 = 1,78848;
t0= = (4,5859 - 0) / 1,02083 = 4,49232.
Якщо ступінь вільності n-m =16-2=14 і рівень значущості α=0,05 tтабл=2,145. Оскільки t1факт < tтабл , то параметр â1 є не значущим, t0факт > tтабл , то параметр â0 є значущим.
Для того, щоб визначити, як параметри і , розраховані за методом НМК, тісно пов’язані з параметрами а0 і а1 генеральної сукупності, потрібно побудувати інтервали довіри для параметрів узагальненої економетричної моделі. Тобто такі інтервали, в які з заданою ймовірністю попадають їхні значення. Для цього спочатку розрахуємо t- статистику для кожного з параметрів:
.
Далі вибираємо рівень значущості α, або рівень довіри, який дорівнює . Знаходимо табличне значення t-критерію tα для ступенів вільності (n-m). Тоді можна записати так: ймовірність того, що t-статистики попадають в інтервал tα :
, , тоді
; ; – інтервал довіри для параметру економетричної моделі.
Зробимо відповідні розрахунки за даними нашого прикладу: tα= t0,05(14)=2,145, ; ; =1,02083; =0,0625107.
Тоді інтервали довіри будуть мати вигляд:
0,5-2,145*0,0625107 < а1< 0,5+2,145*0,0625107
0,5-0,1340854515 < а1 < 0,5+0,1340854515
0,3659 < а1 < 0,634
3,8-2,145*1,02083 < а0 < 3,8+2,145*1,02083
3,8-2,18968035< а0 < 3,8+2,18968035
1,61031< а0 < 5,9896.
Рис. 1 «Графічне зображення економетричної моделі»