1.2. Абсолютная и относительная погрешность

Одной из основных задач теории погрешностей является оценка точности результата на основании точности исходных данных.

Если – точное число и – его приближенное значение, то погрешностью (ошибкой) приближенного значения является степень близости его значения к его точному значению .

Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность, которая определяется как

(1.2-1)

Как видно из формулы 1.2-1, абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и величина _. Поэтому по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Например, если , а речь идет о детали, вытачиваемой на станке, то измерения являются очень грубыми, а если о размере судна, то – очень точными. В связи с этим введено понятие относительной погрешности, в котором значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения ( ).

(1.2-2)

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных. Относительная погрешность измеряется в долях или процентах. Так, например, если ,а , то , а если и ,то тогда .

Чтобы численно оценить погрешность функции, требуется знать основные правила подсчета погрешности действий:

• при сложении и вычитании чисел абсолютные погрешности чисел складываются

• при умножении и делении чисел друг на друга складываются их относительные погрешности

• при возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени

Пример 1.2-1. Дана функция: .Найти абсолютную и относительную погрешности величины (погрешность результата выполнения арифметических операций), если значения известны, а 1 – точное число и его погрешность равна нулю.

Определив, таким образом, значение относительной погрешности, можно найти значение абсолютной погрешности, как , где величина вычисляется по формуле при приближенных значениях

Поскольку точное значение величины обычно неизвестно, то вычисление и по приведенным выше формулам невозможно. Поэтому на практике проводят оценку предельных погрешностей вида:

(1.2-3)

где и – известные величины, которые являются верхними границами абсолютной и относительной погрешностей, иначе их называют – предельная абсолютная и предельная относительная погрешности. Таким образом, точное значение лежит в пределах:

и ли

Е сли величина известна, то , а если известна величина , то

Предельная абсолютная погрешность функции вида , дифференцируемой в заданной области, при известных значениях аргументов , а также при известных предельных абсолютных погрешностях аргументов , вычисляется по формуле:

(1.2-4)

а, соответственно, предельная относительная погрешность функции

(1.2-5)

В частном случае для функции от одной переменной (при m=1):

Пример 1.2-2. Оценить абсолютную и относительную погрешности приближенного   числа   .

Число – трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью .

Приближенное значение числа .

_{Граница абсолютной погрешности} , относительная погрешность числа

Пример 1.2-3. Определить значащие цифры числа.

Значащими цифрами числа    называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащую цифру числа  называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

_{Значащие цифры чисел подчеркнуты:}

Пример 1.2-4. Определить верные цифры числа и подчеркнуть.

Если , то верных цифр в числе 5:   

Если ,то верных цифр в числе 4:   

Если , то верных цифр в числе 7:   

_Если то верных цифр в числе 8: