9.3. Метод итераций
Пусть задана СЛУ с n неизвестными:
(9.3-1)
Необходимо
найти решение этой СЛУ
(
с
точностью
.
Итерационная схема для решения систем линейных уравнений основана на приведении их к виду, удобному для итераций:
(9.3-2)
где
Эта
система получена из системы (9.3-2) в
предположении, что диагональные элементы
отличны от нуля.
Обозначив
через
правую
часть i-го
уравнения, запишем СЛУ в виде:
(9.3-3)
Зададимся
начальными приближениями корней
и
подставим их в правую часть уравнений
системы (9.3-3). Получим первые приближения
к корням:
.
(9.3-4)
Продолжив подстановку, получим последовательность приближений:
(9.3-5)
Если существуют пределы последовательностей, то они являются решением СЛУ:
Условие сходимости метода итераций основывается на следующей теореме:
Теорема: Если в системе уравнений
(9.3-6)
сумма модулей элементов строк, или сумма модулей элементов столбцов матрицы коэффициентов, меньше единицы, то процесс итераций для данной системы сходится независимо от начальных приближений.
Условие сходимости метода итераций можно формализовать следующим образом:
(1.9.3-7)
Оценим погрешность. В процессе решения СЛУ надо добиться выполнения условия:
(9.3-8)
Это условие выполняется, если
(9.3-9)
где
норма
матрицы.
Пример
9.3-1. Решить
систему методом итерации с точностью
.
Условие сходимости (9.3-7) выполнено. Тогда приведем систему к виду (9.3-6).
Выберем
в качестве начальных приближений
следующие значения:
.
Подставляя эти значения в правые части
уравнений, получим первое приближение
Выполним 3 итерации и сведем полученные значения в следующую таблицу:
Таблица 9.3-1
-
0
2
3
5
1
1.92
3.19
5.04
2
1.9094
3.1944
5.0446
3
1.90923
3.19495
5.04485
Список литературы
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. -М., Лань, 2008. -400с.
Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М., Лань, 2009. -480с.
Бахвалов Н.С. Численные методы М., Наука, 1973. -630с.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: М., Радио и связь, 1988. -128с.
Кравченко О.М., Семенова Т.И., Шакин В.Н. Учебное пособие: Модели решения вычислительных задач (численные методы и оптимизация) по дисциплине «Информатика» для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Телекоммуникации». -М.,2003. – 72с.
Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. Учебное пособие для вузов. –М.:Радио и связь, 1999.- 408с.
Шакин В.Н., Семенова Т.И. Основы работы с математическим пакетом Matlab. Учебное пособие/МТУСИ. -М.,2016. -133с.
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. –М.: Высшая школа, 1994. -543с.
Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. -М.: Финансы и статистика, 2002, -256с.