1.8.5. Пример выполнения задания
Задание для решения задачи многомерной оптимизации:
функция –
;метод оптимизации для «ручного расчета» - значение параметра p=3;
метод оптимизации для расчета на ПК – значение параметра t=1.
Проверка существования минимума функции
Из [2] известно, что всякий глобальный минимум выпуклой функции является одновременно и локальным.
Проверить, что функция является выпуклой на множестве R.
Матрица Гессе для функции :
,
а угловые миноры:
.
Таким образом,
функция
- выпуклая на множестве R.
Решение задачи многомерной оптимизации аналитическим методом
Необходимые условия существования точки экстремума:
откуда
.
Начальная точкаитерационного процесса численного решения задачи многомерной оптимизации
Выбрать
начальную точку -
.
Решение задачи численной оптимизации методами наискорейшего спуска, градиентного спуска с дроблением шага «ручным расчетом»
Из 1.8.3-3 в [2]имеем:
где
Построим функцию
,
Из условия
определим
параметр
:
,
k=0,
1,…
Произведем вычисления, а результаты представим в табл. 1.8-2:
-
k
x
y
1
1
0.5
0.2097
2
3
27.75
2
0.5806
-0.1290
0.3095
1.1613
-0.7742
21.3871
3
0.2212
+0.1105
0.2097
0.4424
0.66359
21.0857
4
0.1284
-0.0285
0.3095
0.2569
-0.171
21.0189
Xmin=0.1284, ymin=-0.0285, f=21.0189.
Погрешности после трех итераций
Вычислить погрешности после трех итераций:
Схема алгоритма, программа и результаты контрольного тестирования
Схемы алгоритмовоптимизации методами НСА и ГДШ приведены на рис. 1.8.4-2 и рис. 1.8.3-2 в [2]. Программы студенты должны составить самостоятельно.
Решение задачи оптимизации на пк
Получить решение на ПК по составленным программам с точностью Е=0.1; 0.05; 0.01; 0.001.
Результаты решения задачи оптимизации градиентным методом с дроблением шага (ГДШ) при точности вычисления минимума E=0.1; 0.05; 0.01; 0.001представлены в табл. 1.8-3.
-
k
E
X
y
1
0.1
1.0000
0.5000
27.75
0.0000
2.0000
3.0000
2
0.2000
-0.7000
27.5100
0.4000
0.4000
-4.2000
3
0.1200
0.1400
21.0732
0.2000
0.2400
0.8400
4
0.0720
-0.0280
21.0075
0.2000
0.1440
-0.1680
5
0.0144
0.0392
21.0048
0.4000
0.0288
0.2352
0.0086
-0.0078
21.000
1
0.05
1.0000
0.5000
27.75
0.0000
2.0000
3.0000
2
0.2000
-0.7000
27.5100
0.4000
0.4000
-4.2000
3
0.1200
0.1400
21.0732
0.2000
0.2400
0.8400
4
0.0720
-0.0280
21.0075
0.2000
0.1440
-0.1680
5
0.0144
0.0392
21.0048
0.4000
0.0288
0.2352
0.0086
-0.0078
21.000
1
0.01
1.0000
0.5000
27.75
0.0000
2.0000
3.0000
2
0.2000
-0.7000
27.5100
0.4000
0.4000
-4.2000
3
0.1200
0.1400
21.0732
0.2000
0.2400
0.8400
4
0.0720
-0.0280
21.0075
0.2000
0.1440
-0.1680
5
0.0144
0.0392
21.0048
0.4000
0.0288
0.2352
6
0.0086
-0.0078
21.0002
0.2000
0.0172
-0.0470
7
0.0051
0.0015
21.0000
0.2000
0.0103
0.0094
8
0.0010
-0.0021
21.0000
0.4000
0.0020
-0.0131
0.0006
0.0004
21.0000
1
0.001
1.0000
0.5000
27.75
0.0000
2.0000
3.0000
2
0.2000
-0.7000
27.5100
0.4000
0.4000
-4.2000
3
0.1200
0.1400
21.0732
0.2000
0.2400
0.8400
4
0.0720
-0.0280
21.0075
0.2000
0.1440
-0.1680
5
0.0144
0.0392
21.0048
0.4000
0.0288
0.2352
6
0.0086
-0.0078
21.0002
0.2000
0.0172
-0.0470
7
0.0051
0.0015
21.0000
0.2000
0.0103
0.0094
8
0.0010
-0.0021
21.0000
0.4000
0.0020
-0.0131
9
0.0006
0.0004
21.0000
0.2000
0.0012
0.0026
0.0003
-0.0000
21.0000
Результаты решения задачи оптимизации градиентным методом наискорейшего спуска (НСА) свести в табл. 1.8-3:
-
K
E
x
y
1
0.1
1.0000
0.5000
0.0000
0.2096
2.0000
3.0000
2
0.5806
-0.1290
21.3870
0.3095
1.1612
-0.7741
3
0.2211
0.1105
21.0856
0.2096
0.4423
0.6635
4
0.1284
-0.0285
21.0189
0.3095
0.2568
-0.1712
5
0.0489
0.0244
21.0041
0.2096
0.0978
0.1467
0.0284
-0.0063
21.0009
1
0.05
1.0000
0.5000
0.0000
0.2096
2.0000
3.0000
2
0.5806
-0.1290
21.3870
0.3095
1.1612
-0.7741
3
0.2211
0.1105
21.0856
0.2096
0.4423
0.6635
4
0.1284
-0.0285
21.0189
0.3095
0.2568
-0.1712
5
0.0489
0.0244
21.0041
0.2096
0.0978
0.1467
6
0.0284
-0.0063
21.0009
0.3095
0.0568
-0.0378
0.0108
0.0054
21.0002
1
0.01
1.0000
0.5000
0.0000
0.2096
2.0000
3.0000
2
0.5806
-0.1290
21.3870
0.3095
1.1612
-0.7741
3
0.2211
0.1105
21.0856
0.2096
0.4423
0.6635
4
0.1284
-0.0285
21.0189
0.3095
0.2568
-0.1712
5
0.0489
0.0244
21.0041
0.2096
0.0978
0.1467
6
0.0284
-0.0063
21.0009
0.3095
0.0568
-0.0378
7
0.0108
0.0054
21.0002
0.2096
0.0216
0.0324
8
0.0062
-0.0013
21.0000
0.3095
0.0125
-0.0083
0.0023
0.0011
21.0000
1
0.001
1.0000
0.5000
0.0000
0.2096
2.0000
3.0000
2
0.5806
-0.1290
21.3870
0.3095
1.1612
-0.7741
3
0.2211
0.1105
21.0856
0.2096
0.4423
0.6635
4
0.1284
-0.0285
21.0189
0.3095
0.2568
-0.1712
5
0.0489
0.0244
21.0041
0.2096
0.0978
0.1467
6
0.0284
-0.0063
21.0009
0.3095
0.0568
-0.0378
7
0.0108
0.0054
21.0002
0.2096
0.0216
0.0324
8
0.0062
-0.0013
21.0000
0.3095
0.0125
-0.0083
9
0.0023
0.0011
21.0000
0.2096
0.0047
0.0071
10
0.0013
-0.0003
21.0000
0.3095
0.0027
-0.0018
11
0.0005
0.0002
21.0000
0.2096
0.0010
0.0015
0.0003
-0.0000
21.0000
Координаты точки минимума и значения функции, вычисленные с точностью Е:
-
Метод
E
k
x
y
f(x,y)
ГДШ
0.1
5
0.008640
-0.007840
21.000260
0.05
5
0.008640
-0.007840
21.000260
0.01
8
0.000622
0.000439
21.000000
0.001
9
0.000373
-0.000087
21.000000
НСА
0.1
5
0.028411
-0.006313
21.000930
0.05
6
0.010823
0.005412
21.000200
0.01
8
0.002394
0.001197
21.000010
0.001
11
0.000308
-0.000068
21.000000