Тема 4. Средние величины

Задача 9. Определить среднюю выработку деталей рабочим.

Количество выработанных деталей одним рабочим в смену, шт.	25	26	27	28	29	30
Число рабочих, чел.	2	4	15	20	10	6

Решение:

Если одно и то же значение признака встречается несколько раз, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная по формуле:

,

где – частота, т. е. число случаев возникновенияi-го значения признака.

Определим среднюю выработку деталей рабочим

х_ср = (2 х 25 + 4 х 26 + 15 х 27 + 20 х 28 + 10 х 29 + 6 х 30) : : (2 + 4 + 15 + 20 + 10 + 6) = 27,88 штук.

В результате среднюю выработку деталей рабочим составит: 28 штук.

Тема 5. Позиционные средние: мода и медиана

Задача 9. По имеющимся данным вычислите моду, медиану и квартили.

Средняя дальность поездки, км	Число поездок
20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50	18 26 34 20 12 6
Итого	116

Решение:

Средняя дальность поездки, км	Число поездок	Накопленные частоты
20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50	18 26 34 20 12 6	18 44 78 98 110 116
Итого	116	-

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода находятся в интервале 3 – 6 км.:

31,82 Км.

Средняя дальность поездки составляет 31,82 км.

Медиана интервального ряда определяется по формуле:

,

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– сумма частот ряда;

– сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Место медианы: n= [(f+ 1)] / 2 = 58,5.

Медианный интервал 30 – 35 км.:

32,06 Км.

Медиана интервального ряда составляет 32,06 км.

Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3; остальные 25% превосходят Q3

,

,

(116 / 100 %) х 25% = 29

= 27,15

(116 / 100 %) х 75% = 87

= 37,25

Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 27,15 км.

Q2 совпадает с медианой, Q2 = 32,06 км.

Остальные 25% превосходят значение 37,25км.

Тема 7 .Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

Для выполнения задания по теме 7 используют данные о внутригодичной динамике пассажирооборота, приведенные в табл. 7.1.

На основании этих данных необходимо:

1. дать характеристику интенсивности изменения уровней ряда динамики, рассчитав показатели динамического ряда (по цепной и базисной схеме): абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютные значения одного процента прироста;

2. охарактеризовать средний уровень и среднюю интенсивность внутригодичного развития показателя, рассчитав средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста;

3. дать характеристику тенденции в развитии явления механическим сглаживанием:

- по трехчленной ступенчатой средней;

- по трехчленной скользящей средней.

Фактические и сглаженные значения грузооборота изобразить графически;

4. охарактеризовать сезонность в динамике пассажирооборота; сезонные колебания изобразить графически.

Т а б л и ц а 7.1

Динамика объёма перевозок пассажиров, млн. пасс-км, в прямом сообщении

Варианты	Месяцы
	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь	Ноябрь	Декабрь
9	224	214	296	260	237	240	230	212	238	212	204	226

Требуется провести анализ динамики грузооборота за первое полугодие. Для удобства и наглядности исходные и рассчитанные показатели приведены в табличной форме (табл. 7.2).

Таблица 7.2.

Динамика объёма перевозок пассажиров, млн. пасс-км, в прямом сообщении

Месяцы	Грузо­оборот	Абсолютный прирост (снижение) по сравнению		Темп роста, %, по сравнению		Темпы прироста, %, по сравнению		Абсо-лютное значение 1% прироста
		с преды­дущим периодом	с янва-рем	с преды­дущим периодом	с янва-рем	с преды­дущим периодом	с янва-рем
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Январь	224	-	-	-	-	-	-	-
Февраль	214	-10	-10	95,54	95,54	-4,46	-4,46	2,24
Март	296	82	72	138,32	132,14	38,32	32,14	2,14
Апрель	260	-36	36	87,84	116,07	-12,16	16,07	2,96
Май	237	-23	13	91,15	105,80	-8,85	5,80	2,6
Июнь	240	3	16	101,27	107,14	1,27	7,14	2,37
Июль	230	-10	6	95,83	102,68	-4,17	2,68	2,4
Август	212	-18	-12	92,17	94,64	-7,83	-5,36	2,3
Сентябрь	238	26	14	112,26	106,25	12,26	6,25	2,12
Октябрь	212	-26	-12	89,08	94,64	-10,92	-5,36	2,38
Ноябрь	204	-8	-20	96,23	91,07	-3,77	-8,93	2,12
Декабрь	226	22	2	110,78	100,89	10,78	0,89	2,04
Итого	2793	2	-	-	-	-	-	-

Абсолютный прирост (ΔY) определяется как разность двух сравниваемых уровней:

ΔY_б = Y_i – Y₀; ΔY_ц = Y_i – Y_i-1,

где Y_i – уровень i-го года;

Y₀ – уровень базисного года.

Таблица 7.3.

Динамика темпов прироста

	Абсолютный прирост по сравнению с предыдущим периодом	Абсолютный прирост по сравнению с январем
ΔY Январь	-	-
ΔY Февраль	214-224=-10	214-224=-10
ΔY Март	296-214=82	296-224=72
ΔY Апрель	260-296=-36	260-224=36
ΔY Май	237-260=-23	237-224=13
ΔY Июнь	240-237=3	240-224=16
ΔY Июль	230-240=-10	230-224=6
ΔY Август	212-230=-18	212-224=-12
ΔY Сентябрь	238-212=26	238-224=14
ΔY Октябрь	212-238=-26	212-224=-12
ΔY Ноябрь	204-212=-8	204-224=-20
ΔY Декабрь	226-204=22	226-224=2

Темп роста () определяется отношением текущего уровня к базисному или предыдущему и выражается в процентах:

или .

Таблица 7.4.

Динамика темпов роста

	Темп роста, % по сравнению с предыдущим периодом	Темп роста, % по сравнению с январем
Tp Январь	-	-
Tp Февраль	(214/224)*100=95,54	(214/224)*100=95,54
Tp Март	296/214*100=138,32	296/224*100=132,14
Tp Апрель	260/296*100=87,84	260/224*100=116,07
Tp Май	237/260*100=91,15	237/224*100=105,80
Tp Июнь	240/237*100=101,27	240/224*100=107,14
Tp Июль	230/240*100=95,83	230/224*100=102,68
Tp Август	212/230*100=92,17	212/224*100=94,64
Tp Сентябрь	238/212*100=112,26	238/224*100=106,25
Tp Октябрь	212/238*100=89,08	212/224*100=94,64
Tp Ноябрь	204/212*100=96,23	204/224*100=91,07
Tp Декабрь	226/204*100=110,78	226/224*100=100,89

Темп прироста можно вычислить путем вычитания из темпов роста 100%, то есть Tпр = Tр – 100.

Таблица 7.5.

Динамика темпов прироста

	Темп прироста, % по сравнению с предыдущим периодом	Темп прироста, % по сравнению с январем
Tпp Январь	-	-
Tпp Февраль	95,54-100=-4,46	95,54-100=-4,46
Tпp Март	138,32-100=38,32	132,14-100=32,14
Tпp Апрель	87,84-100=-12,16	116,07-100=16,07
Tпp Май	91,15-100=-8,85	105,80-100=5,80
Tпp Июнь	101,27-100=1,27	107,14-100=7,14
Tпp Июль	95,83-100=-4,17	102,68-100=2,68
Tпp Август	92,17-100=-7,83	94,64-100=-5,36
Tпp Сентябрь	112,26-100=12,26	106,25-100=6,25
Tпp Октябрь	89,08-100=-10,92	94,64-100=-5,36
Tпp Ноябрь	96,23-100=-3,77	91,07-100=-8,93
Tпp Декабрь	110,78-100=10,78	100,89-100=0,89

Показатель абсолютного значения одного процента прироста () определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах:

или = 0,01·Y_i–1.

Таблица 7.6.

Динамика темпов прироста

	Абсолютное значение 1% прироста
Январь	-
Февраль	-10/-4,46=2,24
Март	82/32,14=2,14
Апрель	-36/16,07=2,96
Май	-23/5,8=2,6
Июнь	3/7,14=2,37
Июль	(-10)/2,68=2,4
Август	(-18)/(-5,36)=2,3
Сентябрь	26/6,25=2,12
Октябрь	-26/(-5,36)=2,38
Ноябрь	-8/(-8,93)=2,12
Декабрь	22/0,89=2,04

 Средний уровень интервального ряда динамики с равноотстоящими интервалами рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

,

где m - число уровней в ряду.

Средний абсолютный прирост – показатель, характеризующий среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня за отдельные периоды времени. Он показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени – год, месяц и т.д. определяется по формуле:

или

где У₀ - начальный уровень ряда;

Уn - конечный уровень ряда;

m - число уровней в ряду;

n - номер конечного уровня ряда.

Средний темп роста в форме коэффициента рассчитывается только для цепных темпов роста по формуле средней геометрической простой:

где К '_i - цепной коэффициент роста уровня ряда;

n – число цепных коэффициентов роста в ряду динамики.

или же исчисляется по формуле:

,

где n= m – 1,

m - число уровней в ряду;

Средний темп роста в форме процента:

Средний темп прироста относительный показатель, выраженный в процентах, рассчитывается по формуле:

или 100,08%

Методы выявления основной тенденции ряда динамики

месяцы	Уровни ряда	Способ ступенчатой средней		Способ скользящей средней		Индекс сезонности
		Укрупненные интервалы	Средняя хронологич.	Подвижная трехлетняя сумма	Скользящая средняя
Январь	224	734	244,67	734	244,67	105,66
Февраль	214			770	256,67	100,94
Март	296			793	264,33	139,62
Апрель	260	737	245,67	737	245,67	122,64
Май	237			707	235,67	111,79
Июнь	240			682	227,33	113,21
Июль	230	680	226,67	680	226,67	108,49
Август	212			662	220,67	100,00
Сентябрь	238			654	218,00	112,26
Октябрь	212	642	214,00	642	214,00	100,00
Ноябрь	204			-	-	96,23
Декабрь	226			-	-	106,60

Средний уровень ряда равен 232,75

 Метод скользящей средней заключается в следующем: формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня ряда на один уровень. По укрупненным интервалам определяем среднюю из уровней, входящих в каждый интервал

Вместо относительных разностей за каждый месяц может быть вычислен индекс сезонности, который рассчитывается как отно­шение среднего уровня соответствующего месяца к общей сред­ней. Индекс сезонности рассчитывается:

y_t — средний уровень показателя соответствующего месяца  за три и более лет,

y_c — среднемесячное (по году) значение  показателя  за все годы (общая средняя).