Тема 5. Позиционные средние: мода и медиана

5. 1. Содержание задания и требования к нему

По теме 5 студент должен решить задачу, номер которой соответствует варианту.

Задача 1. По данным о распределении рабочих вагонного депо по заработной плате определите моду и медиану:

Заработная плата за месяц, руб.	До 5400	5400–5600	5600–5800	5800–6000	Свыше 6000	Итого
Число рабочих, чел.	5	15	45	25	10	100

Задача 2. По приведенным данным определить средний возраст группы людей (рассчитать медиану).

Возраст, лет	21–25	26–30	31–35	36–40	41–45	46–50	51–55	Итого
Численность, чел.	22	40	38	50	44	36	10	240

Задача 3. Имеются следующие данные о распределении предприятий по стоимости основных средств. Определить моду и медиану.

Стоимость ОС, млн. руб.	До 3000	3000–6000	6000–9000	9000–12000	Свыше 12000	Итого
Количество предприятий, %	10	20	25	30	15	100

Задача 4. По имеющимся данным о распределении групп рабочих по стажу работы определить медиану.

Стаж работы, лет	До 2	2–4	4–6	6–8	8 и более	Итого
Число рабочих	3	7	20	11	9	50

Задача 5. Рассчитайте моду, медиану, квартили и децили по данным о распределении магазинов по размеру товарооборота.

Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов
До 200 200–300 300–400 400–500 500–600 600–700 700–800 Свыше 800	12 14 18 23 15 7 6 4
Итого	100

Задача 6. С целью исследования качества деталей на предприятии проверена партия из 100 деталей. Определите моду, медиану, квартили и децили.

Группы деталей по весу, г	40–50	50–60	60–70	70–80	80–90	90–100	100–110	110–120	Итого
Число деталей	2	4	12	18	21	24	11	8	100

Задача 7. Вычислите моду и медиану количественного состава семей на основании следующего их распределения по числу совместно проживающих членов семьи:

Число членов семьи	2	3	4	5	6	7	Итого
Число семей, % к итогу	15	34	25	16	8	2	100

Задача 8. Рассчитать значения моды и медианы по данным таблицы.

Группы рабочих по выполнению норм выработки, %	До 90	90–100	100–110	110–120	120–130	130 и более	Итого
Число рабочих	5	18	25	22	8	2	80

Задача 9. По имеющимся данным вычислите моду, медиану и квартили.

Средняя дальность поездки, км	Число поездок
20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50	18 26 34 20 12 6
Итого	116

Задача 10. Имеются следующие данные о распределении заводов по расстоянию от железнодорожной станции. Определите моду и медиану.

Расстояние, км	До 3	3–6	6–9	9–12	12 и более	Итого
Число заводов	2	10	5	2	1	20

Методические указания к выполнению задания по теме 5

Модой в статистике называют значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжиро­ванной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианты с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику: если такой ряд имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда, если четное – то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 5.1.

Т а б л и ц а 5.1

Распределение студентов по возрасту

Возраст	17	18	19	20	21	22	23	24	Итого
Количество студентов, % к итогу	3	25	10	9	11	13	15	14	100
Накопленные частоты	3	28	38	47	58	71	86	100	–

В этом ряду распределения модой является возраст 18 лет (имеет наибольшую частоту – 25). Для определения медианы нужно подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, ее половина – 50. Накопленная сумма частот ряда, впервые превысившая половину равна 58. Ей соответствует значение признака, равное 21. Таким образом, возраст студентов 21 год является медианным.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Медиана интервального ряда определяется по формуле:

,

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– сумма частот ряда;

– сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 5.2.

Т а б л и ц а 5.2

Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накопленные частоты	Накопленные частоты, % к итогу
до 1000 1000–1500 1500–2000 2000–2500 2500–3000 3000–3500 Свыше 3500	60 70 170 250 220 150 80	60 130 300 550 770 920 1000	6 13 30 55 77 92 100
Итого	1000	–	–

Мода и медиана находятся в интервале 2000–2500 руб.:

2364 руб.

Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 2364 руб.

2400 руб.

Таким образом, половина семей имеет среднедушевой доход менее 2400 руб., остальные семьи – более 2400 руб.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части. Эти величины называются квартили. Различают квартиль нижний (), отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине ; 25% единиц будут заключены между и ; 25% – между и и остальные 25% превосходят . Средним квартилем является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному ряду используют формулы

;

,

где – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

– нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля;

– частота интервала, содержащего нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля.

Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным табл. 5.2.

Нижний квартиль находится в интервале 1500–2000, накопленная частота которого равна 30%. Верхний квартиль лежит в интервале 2500–3000 с накопленной частотой 77%. Поэтому получим:

руб.

руб.

Итак, 25% семей имеют среднедушевой доход менее 1853 руб., 25% семей – свыше 2955 руб., а остальные имеют доход в пределах 1853–2955 руб.