4.2 Дискретный канал

Под дискретным каналом (ДК) понимается совокупность электронных устройств и линии связи (непрерывного канала), при подаче на вход которого дискретного сигнала дискретного времени на выходе также наблюдается дискретный сигнал дискретного времени.

Рис. 4.9Структура дискретного канала

В системах передачи дискретных сообщений выделяют дискретный канал непрерывного времени (рис.4.9), или канал постоянного тока (КПТ) [5].

Рассмотрим диаграммы сигналов на выходе КПТ и на выходе ДК. При этом не будем учитывать, для простоты, задержку сигнала в канале связи. На вход ДК поступает последовательность “единиц” и “нулей” в виде импульсов постоянного тока (рис.4.10). На выходе КПТ в результате действия помех и искажений (линейных и нелинейных) наблюдаются искаженные импульсы. В результате на выходе ДК сигнал принимается с ошибкой, которая проявляется в виде преобразования “1” на временном интервале “в-г” в “0” (рис. 4.10).

Искажения на выходе КПТ принято делить на краевые (t1-t8) и дробления (на интервале “в-г”).

Рис. 4.10Диаграммы сигналов в характерных точках дискретного канала (рис.4.9)

Краевые искажения, в свою очередь, делятся на преобладания, случайные и характеристические.

Преобладания выражаются в том, что элементы одного знака удлиняются (например, “1” на интервалах “д,е,ж”), а другого, соответственно, укорачиваются.

Случайные краевые искажения обусловлены случайным действием помех в канале. При этом величина tiимеет случайные величину и знак.

Характеристические искажения определяются характером передаваемой последо-вательности “единиц” и “нулей”. Они возникают в том случае, если за время следования единичной посылки ₀переходной процесс не успевает установиться. Так как передаваемая последовательность имеет случайный характер, то и характеристические искажения будут случайными по времени. При передаче чередующихся элементов (10101010 и т.д.) характеристические искажения отсутствуют.

При дроблении один элемент (длительности ₀) превращается в несколько более коротких (дробится). Дробления характеризуются частотой их появления и плот-ностью распределения длительности дробления.

Для уменьшения влияния искажений в КПТ на принимаемый сигнал в УПС осуществляются операции:

• принятия решения о том, какой символ был передан в интервале времени ₀;

• восстановление границ временных интервалов.

Эти операции выполняются в регистрирующем устройстве УПС.

Регистрирующее устройство, обеспечивающее минимальную вероятность неправильного приема символа Р_ош, называется оптимальным.

Случайный процесс возникновения ошибок в дискретном канале будет полностью описан, если заданы: входной (А) и выходной (Â) алфавиты символов, а также совокупность переходных вероятностей вида Р(â/а), где а=(а₁,а₂,а₃,....а_i,...) – произ-вольная последовательность символов входного алфавита, а_iА - символ на входе каналов в i-й момент времени;â=(â₁â₂â₃,...,â_i,...) соответствующая а последователь-ность символов выходного алфавита,â_iÂсимвол на выходе канала вi-й момент времени; р(â/а) - условная вероятность приема последовательностиâпри условии, что передана последовательность а.

Число задаваемых переходных вероятностей с увеличением входных и выходных последовательностей растет. Так, если используется на входе двоичный код (состоящий из двух символов: “1” и “0”) и выходной алфавит равен входному, то при последовательности длины nобщее число задаваемых переходных вероятностей будет равно 2²ⁿ. Очевидно, что уже при n=20 задание переходных вероятностей в виде таблицы хотя и возможно, но вряд ли целесообразно.

При анализе потока ошибок в дискретном канале используются упрощенные (по сравнению с реальными каналами) модели дискретных каналов, для которых достаточно просто рассчитать переходные вероятности р(â/а) для любых последовательностей конечной длины.

В простейшей модели дискретного канала —дискретном канале без памяти в любой момент вероятность появления символа на выходе дискретного канала зависит только от символа на входе канала для всех пар символов на входе и выходе. Примером дискретного канала без памяти может служить двоичный симметричный канал (ДСК), граф которого изображен на рис.4.11.

Каждый символ последовательности а на входе с некоторой фиксированной вероятностью g воспроизводится на выходе ДСК правильно g=р (0/0)=р(1/1), и с вероятностью Р_ош=Р(1/0)=Р(0/1)=1-gнеправильно.

Для ДСК легко вычисляется вероятность получения любой последовательности символов на выходе. Например, для последовательности длины 3 имеем

Рис. 4.11Граф переходов в ДСК

Р(000/001)=gg(1-g) = g²Р_ош.

На практике при приеме последовательности длины “n” часто интересны вероятности отсутствия и наличия в ней одной, двух и так далее ошибок. Для вычисления таких вероятностей обозначим Р_n(t) вероятность того, что среди “n” принятых символов имеется t ошибок в любом сочетании, а через Р_n*(t) - вероятность одного заданного сочетания ошибок кратности t. Тогда Р_n(t) определится как сумма Р_n*(t) для всех возможных последовательностей ошибок кратности t. Следовательно:

P_n*(t)=P^t_ош(1-Р_ош) ^n-t, (4.5)

P_n(t)= С^t_nР_n*(t)= С^t_nP^t_ош(1-P_ош) ^n-t . (4.6)

Для множества дискретных каналов с ошибками, в которых алфавиты на входе и выходе неодинаковы, интерес представляет так называемый стирающий канал, в котором число кодовых символов на выходе на единицу больше числа кодовых символов на входе. Появление дополнительного символа на выходе означает, что переданный символ искажен помехами и не может быть опознан. Таким образом, часть принятой кодовой последовательности оказывается стертой. Граф переходов такого канала приведен на рис.4.12.

Рис.4.12Граф переходов в симметричном канале со стиранием

В этом канале сигнал передается правильно с вероятностью

1-Рош-Р =Р(1/1)=Р(0/0;

передается неправильно (с ошибкой) с вероятностью

Р_ош=Р(1/0)=Р(0/1)

и “стирается” с вероятностью

Р=Р(С/1)=Р(С/0).

В каналах с памятью каждый символ выходной последовательности зависит как от соответствующего символа на входе, так и от прошлых входных и выходных сигналов. Большинство реальных каналов являются каналами с памятью.

Одна из причин появления памяти - межсимвольная интерференция, возникающая из-за ограничения полосы пропускания канала связи. В этом случае каждый символ на выходе канала частично зависит от нескольких следующих друг за другом символов на входе (зависимость эта определяется импульсной характеристикой канала). Другой причиной могут быть перерывы в канале, длительность которых значительно превышает длительность единичного элемента. В период действия перерыва вероятность неправильного приема резко возрастает и появляется последовательность ошибок, называемая пакетом ошибок.

Различают каналы с памятью по входу и каналы с памятью по выходу. Если выходной символ статистически зависит от входных символов

a_k(t_i), a_k(t_i-2), ..., a_k(t_i-n)...,

то такой канал называется каналом с памятью по входу. Он задается матрицей переходных вероятностей вида:

Р[â_j(t_i)/a_k(t_i),a_k(t_i-1), ..., a_k(t_i-n) , ...]

, (4.7)

строки которых удовлетворяют условию полноты

_М

[âj(ti)/ak(ti),ak(ti-1),ak(ti-2),....,ak(ti-n),...]=1,k=

1,..,К;

i=1,2,...,N,... (4.8)

^j=1

Теоретически память канала бесконечна. Практически число символов, влияющих на вероятности правильного и ошибочного приема символа, ограничено.

Память канала может быть определена как число символов n, начиная с которого справедливо равенство условных вероятностей

P[â_j(t_i)/a_k(t_i),a_k(t_i-1),...,a_k(t_i-n),...]=P[â_j(t_i)/a_k(t_i),a_k(t_i-1),...,a_k(t_i-n+)] (4.9)

для всех   1.

Последовательность входных символов a_k(t_i-1),a_k(t_i-2),..,a_k(t_i-n) можно представить как состояние канала С_i-1в (i-1) момент времени. Тогда канал будет характеризоваться матрицей переходных вероятностейP[â_j(t_i)/a_k(t_i),С_i-1] вида

, (4.10)

Если выходной символ â_j(t_i) статистически зависит от нескольких предыдущих выходных символов, то такой канал называется каналом с памятью по выходу. С учетом представления выходных сигналовâ_j(t_i-1),

â_j(t_i-2), ...,â_j(t_i-n) состоянием канала по выходуE_i-1в (i-1) момент времени, канал будет характеризоваться матрицей переходных вероятностей

. (4.11)

Задание канала с памятью с использованием переходных вероятностей вида (4.10) и (4.11) чрезвычайно громоздко, хотя с достаточной точностью моделирует реальные каналы передачи дискретной информации. Так, если для канала с межсимвольной интерференцией, память по выходу ограничивается пятью символами, то число состояний канала будет равно 2⁵= 32.

В общем случае, если память только по выходу или только по входу ограничивается в двоичном канале Nсимволами, то число состояний равно 2 в степениN. Некоторые реальные каналы имеют память в десятки, сотни и даже тысячи символов.

Состояния каналов можно различать по вероятности ошибки в каждом из состояний. Изменения вероятности ошибки можно в свою очередь связать с физическими причинами - появлением перерывов, импульсных помех, замираний и т.д. Такой канал можно задать совокупностью переходных вероятностей вида P[â_j(t_i),C_i/a_k(t_i),C_i-1],C_iL, гдеL- конечное множество состояний канала.

Если предположить, что имеется статистическая независимость между символом â_j(t_i) и состояниемC_iпри условии, что заданаa_k(t_i) и предыдущее состояниеC_i-1, то можно записать

P[â_j(t_i),C_i/a_k(t_i),C_i-1]=P[â_j(t_i)/a_k(t_i),C_i-1]P[C_i/C_i-1]. (4.13)

В этом случае необходимо задать переходные вероятности для состояний канала P(C_i/C_i-1) и вероятности переходовP[â_j(t_i)/a_k(t_i),C_i-1] символов для каждого состояния каналов. Таким образом, канал имеет конечное множество состояний, переходные вероятности для которых не зависят от времени. Ошибки в каждом состоянии возникают независимо с постоянной вероятностью. В этом случае последовательность состояний является простой цепью Маркова.

Определение.Простой цепью Маркова называется случайная последовательность состояний, когда вероятность того или иного состояния в i-й момент полностью определяется состоянием С_i-1 в (i-1)-й момент времени.

Для описания простой цепи Маркова необходимо задать переходные вероятности Р(С_i/С_i-1) того, что система вi-й момент времени перейдет в состояниеC_iпри условии, что в (i-1)-й момент она находилась в состоянии С_i-1, и вероятности ошибок в каждом из возможных состояний Рⁱ_ош. В рассмотренной модели канала с памятью состояние канала статиcтически не зависит от входных и выходных символов. Достоинством такой модели является то, что достаточно большую память канала можно описать относительно малым числом состояний. Увеличивая число состояний, можно более точно описать реальный канал. Однако сложность использования модели в расчетах будет существенно возрастать с увеличением числа состояний.

Простейшей моделью, основанной на применении математического аппарата марковских цепей, является модель источника ошибок, предложенная Гильбертом. Согласно этой модели канал может находиться в двух состояниях (рис.4.15) - хорошем (состояние 1) и плохом (состояние 2). Первое состояние характеризуется отсутствием ошибок. Во втором - ошибки появляются с вероятностью Р²_ош.

Если при передаче элемента а_iканал находится в состоянии 1, то при передаче следующего элемента а_i+1канал будет находиться в том же состоянии с вероятностью Р11 и в состоянии 2- с вероятностью Р12=1-Р11. Если же при передаче элемента а_i канал находился в состоянии 2, то при передаче элемента а_i+1 он может находиться в том же состоянии с вероятностью Р22 и в состоянии 1 - с вероятностью

Р21 = 1 - Р22 .

Матрицу переходов из состояния в состояние обозначим С:

.

Если Р11 и Р22 достаточно велики, но не равны между собой, то наблюдается тенденция к сохранению возникшего состояния 1 или 2, что имитирует канал с паке-тами ошибок.

Рис. 4.13Диаграммы переходов при описании дискретного канала

На графе рис.4.13 состояния канала изображены в виде кружков. Направленные стрелки обозначают переходы из одного состояния в другое, число на каждой стрелке указывает вероятность перехода.

Для изображенного на рис. 4.13 канала в состоянии 1 ошибки не возникают. В состоянии 2 ошибки возникают с вероятностью 0,4 (рис. 4.14).

Рис.4.14Граф возможных переходов в состоянии 2 (рис.4.13)

Канал, представленный графом на рис. 4.14, имеет тенденцию пребывать в том состоянии, в котором он находится. Большую часть времени канал находится в хорошем состоянии (состояние 1), когда Р_ош= 0. С вероятностью 10^-5канал переходит в плохое состояние, когда около 0,4 элементов на выходе канала будут ошибочными. Состояние 1 длится в среднем в течение приема 10⁵элементов, а состояние 2 -десяти элементов. Вероятность того, что канал в момент передачи данного элемента будет находиться в том или другом состоянии, зависит от состояния, в котором канал находился при передаче предыдущего элемента. Например, вероятность того, что канал будет находиться в момент приема данного элемента в хорошем состоянии, равна (1-10^-5), если до этого он находился в плохом состоянии. Вероятность появления того или иного состояния определяется из системы уравнений:

р₁+р₂ = 1,

р₁ = р₂р₂₁+р₁р₁₁,

Р₂ = р₂р₂₂+р₁р₁₂,

где р₁,р₂-соответственно вероятности того, что канал находится в состоянии 1 и 2.

Средняя вероятность ошибки в канале, описываемом моделью Гильберта, определяется выражением

Среднее число элементов на интервале времени, соответствующем плохому состоянию канала (средняя длина пакета ошибок), определяется по формуле:

L₂= ip₂(i)=1/p₂₁+2\p₂₂p₂₁+3p³₂₂p₂₁+.....=1/p₂₁ ,

где р₂(i)=р^i-1₂₂р₂₁ вероятность того, что возникшее плохое состояние канала будет распространяться наiпереданных элементов.

Аналогично определяется средняя длина интервала между ошибками:

L₁= ip₁(i)=1/p₁₂,

где р₁(i)= р^i-1₁₁р₁₂ - вероятность того, что хорошее состояние канала будет длиться в течение времени передачиiэлементов.

Вероятность появления tошибок в кодовой комбинации длинойnэлементов определяется по формуле

р_n (t)= p⁽²⁾(i,n)p_n (t/i),

где р⁽²⁾(i,n) - вероятность того, что число элементов в кодовой комбинации, переданных за время плохого состояния канала, равноi:

р_n(t/i)=C^t_n[р⁽²⁾_ош] ^t[1-р⁽²⁾_ош]^i-t- вероятность появленияtошибок в кодовой комбинации при условии, что число элементов кодовой комбинации, переданных за время плохого состояния канала,

равно i.

Предполагая, в первом приближении, что в кодовой комбинации длиной nэлементов возможно появление только одного пакета ошибок, получим:

р⁽²⁾(1,n)= р₂ р₂₁ р^n-3₁₁ [2р₁₁+ р₂₁ (n-1)];

p⁽²⁾(i,n)= p₂ p₂₁ p^i-1₂₂ p^n-i-2₁₁ [2p₁₁+(n-i-1) p₁₁], 2=i=n-2;

p⁽²⁾(n-1,n)= 2p₂ p₂₁ p^n-2₂₂;

p⁽²⁾(n,n)= p₂ p₂₂^n-1.

Рассмотренная модель описывается тремя параметрами: р⁽²⁾_ош , р_12, р₂₁, которые могут быть найдены экспериментально.