3.6 Коды Абрамсона

В [7] отмечено, что коды Файра образуют наиболее известный класс кодов, исправляющих пачки ошибок. Эти коды пригодны для целой области длин пачек ошибок и длин самих кодов. Известны коды, требующие меньшее число про­верочных символов, чем коды Файра. К ним относятся коды Абрамсона [8]. Длина кодовой комбинации кодов Абрамсона п = 2^h - 1, гдеh— степень неприводимого много­членаP₁ (х).

Образующий полином Р(x) = (1+х)Р₁ (х). Число ин­формационных символов

k= 2^h—h— 2.

Эти выражения справедливы для минимального кодо­вого расстояния d_MHH= 4, что позволяет корректировать все одиночные и все смежные двойные ошибки.

Кроме того, Абрамсоном был найден класс кодов, позволяющих исправлять пачки ошибок длиной b= 3 и менее (одиночные, двойные смежные и тройные смежные). В этом случае, если длина кодаn— наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2^n-k>= 1 + 4n, то образующий полином представляется в виде произведения двух многочленов:

Р (x) = (1+х + х²)Р₂(х),

где Р₂(х) — неприводимый многочлен четной степени, превышающей два (четы-ре, шесть, восемь и т. д.).

Образующие полиномы кодов Абрамсона, исправляющие три соседние ошибки и обла­дающие минимальной избыточностью имеют вид [6]:

(х²+ х + 1) (х⁴+ х +I); (х²+ х + 1) (x⁶+ х+1) (х²+ х + 1) (х⁶+ х⁵+ х²+ х + 1);

(х²+ х + 1) (x⁸+ х⁷+ у²+ х + 1); (х²+ х + 1) (х⁸+ х⁵+ х³+ х + 1).

При выполнении опре­деленных условий образующий полином вида Р(х) =P₁ (х)Р₂(х), где P₁ (х) и Р₂(х) — неприводимые много­члены, порождает циклические коды, исправляющие пачки ошибок. Число проверочных символов этих кодовr=m₁+m₂, где —m₁ степень многочлена Р₁(х);m₂— степень многочлена Р₂(х).

Такие коды получили название кодов Миласа — Абрамсона.

3.7 Коды Рида — Соломона

При некоторых условиях циклические коды Рида—Соломона (PC) являются частным случаем кодов БЧХ [7]. КодыPCобладают огромной корректи­рующей способностью и позволяют исправлять несколько пачек ошибок.

Предположим, что задан корректирующий код с основанием m> 2, в комбинациях которого можно ис­правлять ошибки кратностиt_и. Допустим, что каждому символу этого кода поставлена во взаимнооднозначное соответствие не-котораяn₁ - значная двоичная комбинация. Тогда полученный таким образом двоичный код может исправлять пачки ошибок длинойb=n₁(t_и - 1)+1 и менее. Код с указанными свойствами образуется в том случае, если основаниеm= 2^а, длина

n= а(2^а - 1) и образующий полином

P(x) = (x—) (x—) ... (x- ), (3.19)

где — примитивный элемент поляGF (2^a).

Коды указанного типа носят название кодов Рида — Соломона. Из (3.19) степень многочлена Р(х) рав­наd- 1. В результате получается код длиныn сd- 1 проверочными разрядами и минимальным расстояниемd.

То обстоятельство, что коды PCпри любой задан­ной скорости имеют наибольшее возможное минималь­ное расстояние, делает их привлекательными с точки зрения практического использования. В то же время структура этих кодов допускает относительно простую техническую реализацию, поэтому практическое приме­нение не только желательно, но и возможно.