3.3.1 Выбор образующего многочлена

В теории кодирования показано, что степень многочлена P_r(x) следует выбирать равнойr=mt_и.ош, гдеmопределяется условием 2^m=n+1, аt_и.ош— число ошибок, исправляемых циклическим кодом (7.12).

Пример 3.9.Определитьrдля кода сk=20,t_и.ош=2.

Примем m=3. Тогда 2^m=2³=8,n=7, что меньшеk=20. Возьмемm=5. Тогдаn=31;r=mt_и.ош=52=10. Получается код сk=21,r=10. Этот код обеспечивает кодовое расстояниеd₀2t_и.ош+1=5.

В табл. 3.3 приведены образующие (примитивные) полиномы до 10-й степени.

3.3.2 Базис циклического кода, формирование кодовых комбинаций

Поскольку циклические коды являются линейными, то их можно строить точно так же, как и рассмотренные выше коды Хэмминга, определяя производящую матрицу (базис циклического кода). Для его построения используют свойство цикличности разрешенных кодовых комбинаций: циклический сдвиг разрешенной кодовой

Таблица 3.3  Образующие полиномы

r	Pr(x)	Двоичная запись Pr(x)
2	x2+x+1	111
3	x3+x+1 x3+x2+1	1011 1101
4	x4+x2+1 x4+x2+1	10011 100101
5	x5+x4+x3+x2+1 x5+x4+x2+x+1	111101 110111
6	x6+x+1 x6+x5+x2+x+1	1000011 1100111
7	x7+x3+1 х7+х3+х2+x+1 х7+х4+х3+х2+1	10001001 10001111 10011101
8	х8+х7+х6+х5+х2+x+1 x8+x4+x3+x1+1 х8+x6+x5+х+1	111100111 100011101 101100011
9	x9+х5+х3+х2+1 х9+х8+х7+х6+х5+х3+1	1000101101 1111101001
10	х10+х4+х3+х+1 х10+x9+х6+х5+x4+х2+х+1	10000011011 11001110111

комбинации есть разрешенная комбинация того же кода. Рассмотрим циклический сдвиг кодовой комбинации:

. (3.13)

Такая циклическая перестановка при представлении комбинаций в виде полиномов соответствует умножению данного полинома A(x) наx, т.е.. Чтобы степень полученного полиномаA₁(x) не превышалаn-1, членa_n-1xⁿзаменяется единицей. Поэтому .

Например, имеем кодовую комбинацию: 1011101A(x)=х⁶+x⁴+x³+x²+l. Образуем циклический сдвиг на один разряд: 0111011A(x)x=х⁷+х⁵+х⁴+х³+х11010. Заменив х⁷на единицу, имеемx⁵+x⁴+x³+x+l0111011, т. е. сдвинутую на один разряд исходную кодовую комбинацию.

Базис циклического кода можно построить на основе циклических сдвигов кодовой комбинации, соответствующей образующему многочлену.

Пример 3.10. Сформировать базис циклического кода (7,4) сP₃(x)=x³+x+1,r=3,k=4,d₀=3. Для формирования первой разрешенной комбинации базиса следует взять кодовую комбинацию сn=7, соответствующую образующему полиномуx³+x+1. (Ясно, что она будет делиться без остатка па образующий полином).

Итак, первая разрешенная комбинация имеет вид

.

Остальные три разрешенные комбинации находятся циклическим сдвигом полученной кодовой комбинации, т. е. умножением A₁(x) наx,x²,x³. В результате имеем

Тогда производящая матрица циклического кода (7, 4) имеет вид:

Все остальные кодовые комбинации можно определить линейной композицией комбинаций базиса (ср. с производящей матрицей (7,3)).

Формирование кодовых комбинаций по заданной информационной части в циклическом коде так же, как и в обычных линейных систематических кодах, осуществляется на основе определенного алгоритма. Причем в отличие от ранее рассмотренного линейного кода, этот алгоритм позволяет сформировать сразу всю проверочную группу:

.

В качестве оператора используется вычисление вычета произведенияA_k-1(x)x^rпо модулюP_r(x), гдеA_k-1(x) — многочлен, представляющий информативную часть кодовой комбинации, аP_r(x) — образующий многочлен степениr. Ранее было определено, что среди 2ⁿкодовых комбинацийA_n-1(x) длинойnэлементов имеется подмножество из 2^kкомбинаций, которые характеризуются отсутствием вычета по образующему многочлену степениr, гдеr=n-k.

Это создает возможность дополнить каждую кодовую комбинацию A_k-1(x)k-элементного первичного кода группой из r проверочных элементов, которая определяется в виде остаткаR(x) от деления произведенияA_k-1(x)x^rна образующий многочленP_r(x). При этом образуется многочленA_n-1(х), соответствующийn-элементному коду, у которого отсутствует вычет поP_r(x).

Действительно, умножение A_k-1(x) наx^rприводит к многочлену, соответствующемуn-элементной кодовой комбинации, у которойrмладших разрядов нулевые. ОпределивR(x) как вычетA_k-1(x)x^rпоP_r(x), получаем всю проверочную группу изrэлементов, которую и приписываем вместоrнулей.

Пример 3.11. Задана кодовая комбинация простого семиэлементного кодаA₆(0,1)=1001011, т. е.A₆(x)=x⁶+x³+x+1. Надо образовать циклический код (9,7). Это код, у которогоr— степень образующего многочлена (число проверочных элементов) равна 2.

Из табл. 3.3

P₂ (x)=x² + x + 1.

Повысим степень полинома на два:

A₆(x) х²=x⁸+х⁵+х³+х².

Определим группу проверочных разрядов в виде остатка от деления A₆(x)x²наP₂(x). Значение остатка будетR(x)=x, т. е.R(0,1)=10. Найдем полином разрешенной кодовой комбинации:

A₈(x)=A₆(x)x²+R(x)=х⁸+x⁵+x³+x²+x.

Кодовая комбинация имеет вид 100101110.

Наряду с определением кодовой комбинации в виде многочлена все операции можно проделать и в записи двоичными элементами. В этом случаеA_k-1(x)x^rсоответствует добавлению кA_k-1(0,1)rнулей, т. е. 100101100. Определение вычета произведем на основе деления в двоичной записи:

Отсюда R(0,1)=10.

Тогда A(0,1)=100101.10.

Можно заметить, что при таком способе построения комбинаций циклического кода проверочные и информационные разряды находятся на определенных позициях, т. е. код является разделимым. При другом способе построения это свойство нарушается и код становится неразделимым. Способ основан на простом перемножении кодовых комбинаций информационной группы и образующего полинома. Действительно, поскольку произведение A_k-1(x)P_r(x)=A_n-1(x) делится без остатка наP_r(x), тоA_n-1(х) является разрешенной комбинацией циклического кода. Однако в этой комбинации нельзя выделить информационные и проверочные разряды. Из примера 3.11 имеем произведение

что соответствует кодовой комбинации 111110001. Выделить позиции информационных элементов здесь нельзя. Поэтому на практике используется первый способ построения циклического кода.