3.3 Циклические коды

Широкое распространение получил класс линейных кодов, которые называются циклическими. Название этих кодов происходит от их основного свойства: если кодовая комбинация а₁, а₂, ...a_n-1,a_nпринадлежит циклическому коду, то комбинацииa_n, а₁а₂, ...,a_n-1; а_n-1,a_n,a₁,...,a_n-2и т. д., полученные циклической перестановкой элементов, также принадлежат этому коду.

Общим свойством всех разрешенных кодовых комбинаций циклических кодов (как полиномов) является их делимость без остатка на некоторый выбранный полином, называемый производящим. Синдромом ошибки в этих кодах является наличие остатка от деления принятой кодовой комбинации на этот полином. Описание циклических кодов и их построение обычно проводят с помощью многочленов (полиномов). Цифры двоичного кода можно рассматривать как коэффициенты многочлена переменной x.

Поскольку любое число в произвольной системе счисления можно записать в виде

,

где x— основание системы счисления,a_n-1,…,a₀— цифры этой системы, то переход от двоичного числа к записи в виде многочлена осуществляется следующим образом:

110111⁴ + 1³+ 0² + 1+ 1⁰=⁴ +³++ 1

Отсюда видно, что кодовая комбинация длиной и (n=5) описывается многочленом степениn- 1. Однако запись кодовой комбинации в виде многочлена не всегда определяет длину кодовой комбинацииn. Например, приn= 5 многочленуx²+1 соответствует кодовая комбинация 00101. Поэтому при переходе к записи в виде кодовой комбинации необходимо дописывать нулевые старшие разряды.

Кодовые комбинации циклического кода описываются полиномами, обладающими определенными свойствами. Последние определяются свойствами и операциями той алгебраической системы, к которой принадлежит множество полиномов. В частности, в этой алгебраической системе, которая носит название поля Галуа (GF(x)), действие над коэффициентами полиномов (сложение, умножение) производится по модулю 2. Умножение полиномов должно производиться по модулю некоторого полиномаP_r(x). Эти два условия определяют замкнутость указанных операций: их применение не приводит к кодовым комбинациям, длина которых больше длины заданного кода п.

Пусть n= 5. Сложим два полинома:

и.

Получим

Таким образом, степень полученного полинома P₃(x) не превышаетn=5.

Умножение полиномов производится по модулю P_r(x). Это означает, что в качестве результата умножения принимается остаток от деления обычного произведения полиномов па полиномP_r(x).

Напомним, что умножение чисел по модулю qсводится к тому, что обычное произведение этих чисел делится наqи записывается остаток. Например, 24 = 3 (mod5), т. е. 24 = 8; 8:5 имеет в остатке 3. Это число и является результатом умножения по модулю 5.

Указанная операция над многочленами не приводит к появлению полинома с большей степенью, чем заданная длина кода.

Рассмотрим код с n=5. ВозьмемP₁(x)=x⁴+x+1 и Р₂(x)=x⁴. Произведем обычное умножение полиномов:

.

Полином P₃(x), имея степеньn=8, не принадлежит коду сn=5. Рассмотрим умножение по модулюP_r(x). При этом полиномP_r(x) должен иметь степеньr<n. ВыберемP_r(x)=х³+х²+1. НаходимP₁(x)P₂(x) [modP_r(x)]=P₁(x)P₂(x):P_r(x), т. е.

Таким образом, x²+x=R(x). Полученный остатокR(x)=х²+х и является результатом произведения полиномов P₁(x),P₂(x) по модулюP₃(x). Он именуется вычетом по многочленуP₃(x).

Для того чтобы полиномы, отображающие кодовые комбинации циклического кода, имели нужные свойства, необходимо выполнение двух условий:

1) полиномы P_r(x) должны быть неприводимыми, т. е. не делиться ни на какой другой полином;

2) двучлен вида xⁿ+1 должен делиться наP_r(x) без остатка (имеется в виду обычная операция деления).

Такие полиномы в циклических кодах играют роль порождающих (производящих, образующих)полиномов; с их помощью строится заданный циклический код.

Поскольку неприводимый многочлен не может быть представлен в виде произведения многочленов более низших степеней, то проверить это можно простой подстановкой в него корней x=1,x=0. Например, имеемP₃(x)=x³+х+1. ЕслиP₃(x) можно разложить па множители, то это означает, что уравнениеx³+x+1=0 имеет корниx_i=0; 1. Прямой подстановкой этих корней можно убедиться, что в обоих случаяхP₃(x)=l, т. е. этот полипом неприводим.Существенно, что степень образующего многочлена P_r(x) r совпадает с числом проверочных разрядов (n, k) циклического кода.

В циклических кодах разрешенными кодовыми комбинациями являются те, которые имеют нулевой вычет по модулю P_r(x), т. е. делятся на образующий полином без остатка. Из всех возможных полиномов степениn(2ⁿ) только 2^kполиномов (k=n-г) имеют нулевой вычет по модулюP_r(x). Они и образуют множество разрешенных кодовых комбинаций циклического кода.

Циклические коды являются блочными, равномерными и линейными.Линейность кодов вытекает из того, что если кодовые слова принадлежат циклическому коду, то их линейная комбинация будет также принадлежать циклическому коду, т. е. обязательно делиться без остатка на образующий полином.

По сравнению с обычными линейными кодами (см. разд. 3.2) на разрешенные кодовые комбинации циклического кода накладывается дополнительное ограничение: делимость без остатка на порождающий полином. Это свойство существенно упрощает аппаратурную реализацию кода.

Обнаружение ошибок в циклическом коде производится делением принятой кодовой комбинации на кодовую комбинацию образующего полинома (вид его должен быть известен на приеме). Остаток от деления R(x) играет роль синдрома. ЕслиR(x)0, то считается, что произошли ошибки. ЕслиR(x)=0, то комбинация принята правильно.

Возможность исправления одиночной ошибки связана с выбором образующего полинома P_r(x). Точно так же, как и в обычных линейных кодах, вид синдрома в циклических кодах зависит от места, где произошла ошибка. В данном случае в качестве синдромов рассматриваются различные остаткиR(x) от деления полинома ошибки на образующий полипомP_r(x). Среди множества полиномовP_r(x) существуют так называемыепримитивные полиномы, для которых существует зависимостьn=2r-1.Это означает, что при возникновении ошибки в одном изnразрядов кодовой комбинации число различных остатков также будет равноn. Например, образующий полиномP₄⁽¹⁾(x)=x⁴+x+lдаетn=15 различных остатков, а образующий полиномP₄⁽²⁾(x)=x⁴+x³+x²+x+1 только пять различных остатков. Поэтому полиномP₄⁽¹⁾(x) может использоваться для построения циклического кода (15,11) с исправлением одной ошибки (приn=2ⁿ-1; 15=2⁴-1), а полиномP₄⁽²⁾(x) приn=15 только для обнаружения ошибок. (Предлагается самостоятельно проверить свойства указанных полиномов путем деления многочленов ошибки Е(x)=х¹⁵,x¹⁴, ... наP₄⁽¹⁾(x) иP₄⁽²⁾(x), подсчитывая число различных остатков.)

Признаком примитивных полиномов является наличие остатка, равного единице, только для полиномов x⁰=1 иxⁿ, т. е. число различных остатков равноn-1.