int-neop

1Неопределенный интеграл

Âкурсе дифференциального исчисления были введены фундаментальные понятия математического анализа производная и дифференциал; были установлены основные правила дифференцирования (нахождения производных) всех элементарных функций.

Âэтом разделе будем решать задачу, "обратную"по отношению к операции дифференцирования, а именно, по известной производной отыскивать саму функцию. Это одна из задач, к которой сводятся многие задачи математики, механики, физики и т.д.

Предположим, например, что в каждый момент времени x нам известна мгновенная скорость f(x) движения материальной точки вдоль

оси Oy. Требуется найти закон движения этой точки.

Мы знаем, что мгновенная скорость f является производной функ-

öèè F , задающей закон движения точки. Таким образом, отвлекаясь от

механического смысла задачи, мы приходим к понятию первообразной функции, а затем и неопределенного интеграла.

Истоки интегрального исчисления уводят нас в античный период и связаны с методом исчерпывания Евдокса и Архимеда. Дальнейшее развитие интегральное исчисление получило в работах И.Ньютона и Г.Лейбница. Именно они установили связь между дифференцированием и интегрированием.

С помощью интегрального исчисления удалось решить многие зада- чи теоретического и прикладного характера, стоявшие перед наукой того времени. Однако задача интегрирования оказалась труднее задачи дифференцирования. Операция дифференцирования, как известно, не выводит из класса элементарных функций, а операция интегрирования элементарной функции не всегда приводит к элементарной функции. На-

ются через элементарные функции. Поэтому чрезвычайно важно уметь выполнять интегрирование там, где оно возможно в ¾конечном виде¿, то есть не выводит из класса элементарных функций, и приобрести известные технические навыки в интегрировании заданных функций.

1.1 Первообразная функция

Понятие первообразной (или примитивной) функции является одним из важнейших в математическом анализе.

Определение 1.1 Пусть f : (a; b) ¡! R. Функция F называется пер-

вообразной функцией (или просто первообразной) для функции f íà èí-

тервале (a; b), если в любой точке этого интервала функция F диффе-

ренцируема и имеет производную F 0, равную f.

Аналогично определяется первообразная для функции f на полупря-

мой или на всей вещественной прямой. При определении первообразной на сегменте используют понятия односторонних производных.

Замечание 1.1 Очевидно, что любая первообразная F для функции f

на интервале (a; b) непрерывна на этом интервале.

Пример 1.1 Функция F (x) = p1 ¡ x2 является первообразной для

функции f(x) = ¡ x (¡1; 1), поскольку функция F 1 ¡ x2 на интервале

дифференцируема в интервале (¡1; 1) è F 0(x) = f(x) в каждой точке

x 2 (¡1; 1).

Пример 1.2 Функция F (x) = ln x является первообразной для функции f(x) = x1 на полупрямой (0; +1), так как на этой полупрямой функция F дифференцируема и выполняется равенство F 0(x) = f(x).

4 Оглавление

Пример 1.3 Функция F (x) = arctg x1 является первообразной для функции f(x) = ¡1 +1 x2 на каждой полупрямой (0; +1) è (¡1; 0), посколь-

ку функция F дифференцируема на полупрямой (0; +1) и на полупрямой (¡1; 0) è F 0(x) = f(x) в каждой точке x 2 (0; +1) x 2 (¡1; 0).

Íî F не является первообразной для функции f на всей вещественной прямой, так как F разрывна в точке x = 0.

Пусть F первообразная для функции f на интервале (a; b). Нетрудно видеть, что функция Φ, заданная равенством Φ(x) = F (x)+C, ãäå C

любая постоянная, является первообразная для функции f на интервале

(a; b). Поэтому всякая функция, имеющая первообразную на интервале

(a; b), имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных.

Связь между первообразными для одной и той же функции установлена в следующем утверждении.

Теорема 1.1 Åñëè F è Φ любые первообразные для функции f на интервале (a; b), то существует константа C такая, что всюду на интервале (a; b) справедливо равенство Φ(x) ¡ F (x) = C.

Другими словами, две первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную.

Доказательство. Определим функцию G íà (a; b) по правилу: G(x) =

Φ(x) ¡ F (x). Функция G дифференцируема на интервале (a; b) êàê ñóì-

ма двух дифференцируемых функций, причем всюду на этом интервале

G0(x) = Φ0(x) ¡ F 0(x) = f(x) ¡ f(x) = 0.

По теореме о постоянстве функции, имеющей на интервале равную нулю производную (следствие из теоремы Лагранжа), функция G ÿâëÿ-

ется постоянной на интервале (a; b). Следовательно, G(x) = Φ(x)¡F (x) =

C.

Следствие 1.1 Åñëè F одна из первообразных функций для функции

f на интервале (a; b), то любая первообразная Φ для функции f íà èí-

тервале (a; b) задается равенством Φ(x) = F (x)+C, ãäå C некоторая постоянная.

1.2Неопределенный интеграл и его основные свойства

Определение 1.2 Совокупность всех первообразных функций для данной функции f на интервале (a; b) называется неопределенным инте-

гралом от функции f (на этом интервале) и обозначается символом

Z

f(x) dx.

ZZ

В обозначении f(x) dx çíàê называется знаком неопределенного интеграла, выражение f(x) dx подынтегральным выражением, а сама

действие обратное дифференцированию многозначно, то есть сопровождается неопределенностью.

Пусть F одна из первообразных функций для данной функции f íà

интервале (a; b). Тогда, в силу следствия 1.1, справедлива формула

Z

f(x) dx = F (x) + C; (1.1)

ãäå C любая константа.

Теперь рассмотрим свойства неопределенного интеграла, сразу следующие из определения 1.2.

Свойство 1 Если функция f имеет первообразную на интервале (a; b),

то на этом интервале производная неопределенного интеграла от функции f равна подынтегральной функции, то есть

Справедливость этого утверждения следует из определений первообразной и неопределенного интеграла (определения 1.1 и 1.2).

Свойство 2 Если функция f имеет первообразную на интервале (a; b),

то дифференциал неопределенного интеграла от функции f равен подын-

Это свойство следует из свойства 1.

интеграла.

Свойство 3 Если функция F : (a; b) ¡! R дифференцируема на ин-

тервале (a; b), то справедлива формула

Z

dF (x) = F (x) + C: (1.4)

Чтобы установить это свойство достаточно в левой части формулы

d взаимно сокращаются и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но при этом к функции F добавляется произ-

вольная постоянная C.

Следующие три свойства являются простейшими правилами интегрирования. Первые два из них обычно называют линейными свойствами интеграла.

Свойство 4 Если функции f è g имеют первообразные на интервале

(a; b), то и функция f + g имеет первообразную на этом интервале и

Свойство 5 Если функции f имеет первообразную на интервале (a; b), то и функция kf, ãäå k любая константа, имеет первообразную на

Каждое из равенств (1.5) и (1.6) следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Доказательство свойств 4 и 5. Пусть F è G первообразные на ин-

тервале (a; b) для функций f è g соответственно, и C произвольная

постоянная. По теореме об арифметических операциях над дифференцируемыми функциями функции F + G è C F являются первообразными

соответственно для функций f + g è C f на интервале (a; b).

А следующее свойство часто бывает полезным при нахождении неопределенных интегралов.

Свойство 6 Пусть функция F одна из первообразных для функции f на интервале (c; d), òî åñòü

Z

f(t) dt = F (t) + C:

И пусть a è b произвольные постоянные, причем a =6 0. Тогда

Доказательство. Из условия следует, что на интервале (c; d) функция F дифференцируема и справедливо равенство F 0(x) = f(x). Учитывая это и применяя теорему о производной сложной функции, находим

µa1F (ax + b)¶0 = a1 ¢ F 0(ax + b) ¢ a = f(ax + b):

Следовательно функция a1F (ax + b) является первообразной для функции f(ax + b) на интервале (c; d).

8 Оглавление

1.3 Таблица основных неопределенных интегралов

Используя таблицу производных простейших элементарных функций, составим таблицу основных неопределенных интегралов.

Z

1)0 dx = C;

Z

2)1 dx = x + C;

6)sin x dx = ¡ cos x + C;

Z

7)cos x dx = sin x + C;

Zdx < arctg x + C;

11)1 + x2 = : ¡ arcctg x + C;

К этим формулам присоединим несколько формул для гиперболических

функций:

Z

15)sh x dx = ch x + C;

Z

16)ch x dx = sh x + C;

Изучая дифференциальное исчисление, мы установили, что производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе. Известно, что интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов служат

Первый из этих интегралов называется интегралом Пуассона или интегралом ошибок (широко используется в статистической физике, в теории теплопроводности); второй и третий интегралы называются интегралами Френеля (применяются в оптике); четвертый, пятый и шестой носит названия, соответственно, интегральный логарифм, интегральный косинус и интегральный синус. Ввиду важности для приложений, эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции. Для них составлены таблицы и построены их графики.