int-neop

1.4 Основные методы интегрирования

Метод разложения

Этот метод применяется в случаях, когда функцию f : X ¡! R

можно представить в виде линейной комбинации функций fj : X ¡! R, j = 1; 2; : : : ; n, таких, первообразные которых легко построить, то есть

f = ®1f1 + ®2f2 + : : : + ®nfn:

Тогда по свойствам 5 и 4, получим

Пример 1.5 Вычислить

Решение. Применяя формулу бинома Ньютона, разложим функцию x3 + 1 по степеням суммы x + 2, получим

Интегрирование заменой переменных

Изложим один из сильнейших приемов интегрирования метод замены переменной или подстановки. Он основан на следующем утверждении.

Теорема 1.2 Пусть функция ' : (®; ¯) ¡! (a; b) дифференцируема

на интервале (®; ¯), а функция g имеет первообразную G на интервале

Доказательство. Из условия теоремы следует, что сложная функция G¡'(x)¢ дифференцируема на интервале (®; ¯). Применяя правило диф-

ференцирования сложной функции и учитывая, что G0(t) = g(t) íà èí-

тервале (a; b), получаем равенство

¡G¡'(x)¢¢0 = G0¡'(x)¢'0(x) = g¡'(x)¢'0(x):

Следовательно функция G¡'(x)¢ действительно является первообразной для функции g¡'(x)¢'0(x) на интервале (®; ¯).

Предположим теперь, что необходимо вычислить интеграл

Z

f(x) dx: (1.11)

Как будет показано далее, в ряде случаев удается найти такую функцию ', что функция f представима в виде f(x) = g¡'(x)¢'0(x), где функции

g è ' удовлетворяют всем условиям теоремы 1.2, причем первообразная

G для функции g легко находится. Тогда, на основании теоремы 1.2, получаем

12 Оглавление

Этот прием нахождения интеграла (1.11) и называется методом замены переменной или методом подстановки.

Решение. Сделаем замену переменной. Положим t = arctg x. Тогда dt =

dx

Решение. Сделаем замену t = 4x2. Тогда dt = 8x dx. Поэтому, применяя формулу 14), получаем

Интегрирование по частям

К числу весьма эффективных методов интегрирования относится

метод интегрирования по частям.

Теорема 1.3 Пусть каждая из функций u è v дифференцируема на

множестве X и, кроме того, на этом множестве существует пер-

v ¢ u0. Тогда на множестве X существует пер- u ¢ v0, причем справедлива формула

Формула (1.13) называется формулой интегрирования по частям. Так как v0(x) dx = dv è u0(x) dx = du, формулу (1.13) можно записать в виде

Доказательство. Функция u ¢ v в каждой точке множества X имеет производную

и является первообразной для функции uv0 + vu0 на множестве X. Из равенства (1.15) находим

Поскольку первообразная правой части равенства (1.16) существует, существует первообразная и левой части этого равенства. Проинтегрировав обе части равенства (1.16) по переменной x получаем (1.13) (или что

Решение. Положим u = x, dv = sin x dx. Находим du = dx, v = ¡ cos x.

Теперь по формуле (1.13) получаем

Z Z

x sin x dx = ¡x cos x + cos x dx = ¡x cos x + sin x + C:

Если функция '(x) принадлежит первому классу, полагают u = '(x), dv = P (x) dx, а если же она принадлежит второму классу, то полагают

u = P (x), dv = '(x) dx.

Отметим, что интегралами вида (1.18) не исчерпываются возможности метода интегрирования по частям. Рассмотрим следующий пример.

Решение. Проинтегрируем интеграл I1 по частям. Положим u = eax,

Аналогично поступим с интегралом I2. Положим u = eax, dv = sin(bx) dx.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений (1.20) и (1.21),

1.5 Интегрирование рациональных дробей

Рациональные функции занимают особое место в анализе, поскольку первообразная любой такой функции является элементарной функцией и интегрирование многих функций, отличных от рациональных, сводится к интегрированию рациональных функций. Но для изложения теории интегрирования рациональных функций нам потребуются некоторые элементарные сведения о корнях алгебраических многочленов.

Алгебраические многочлены и их корни

Рассмотрим многочлен P степени n

P (z) = c0zn + c1zn¡1 + : : : + cn¡1z + cn;

ãäå c0,c1,: : :,cn некоторые комплексные числа, первое из которых отлично от нуля (в дальнейшем будем предполагать, что c0 = 1).

Определение 1.3 Комплексное число a называется корнем многочлена P , если многочлена P в точке z = a обращается в нуль, то есть

P (a) = 0.

Хорошо известно, что если число a является корнем многочлена n-й степени P , то этот многочлен представим в виде

ãäå Ã некоторый многочлен степень n ¡ 1.

Определение 1.4 Корень a многочлена P называется корнем кратности ®, если найдутся число ® 2 N и многочлен Ã такие, что справедливо представление

причем Ã(a) 6= 0.

Отметим, что если корень a 2 R многочлена P с вещественными коэффициентами, то и многочлен Ã многочлен с вещественными коэффициентами.

Предложение 1.1 Åñëè a = u + iv комплексный корень кратности ® многочлена P с вещественными коэффициентами, то и сопряженное ему число a = u ¡ iv является корнем многочлена P кратности ®. Причем многочлен P (степени n) представим в виде

Рис. 1: Деление столбиком

в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Решение. Разделим столбиком числитель дроби на знаменатель (см. рис. 1). Следовательно,

Лемма 1.1 Пусть число a 2 R является корнем кратности ® знаменателя правильной рациональной дроби (1.27), то есть

ãäå '(a) =6 0. Тогда для этой дроби справедливо следующее представле-

гочлен (с вещественными коэффициентами), причем последняя дробь в правой части (1.29) является правильной.

Доказательство. Рассмотрим разность

Приводя ее к общему знаменателю, получаем

ãäå Φ обозначает многочлен, заданный равенством Φ(x) = P (x) ¡A'(x). Поскольку Φ(a) = P (a)¡A'(a) = 0, число a является корнем многочлена

Φ некоторой кратности k ¸ 1, òî åñòü

ãäå Ã(a) =6 0. Используя представление многочлена Φ в виде (1.31) и (1.30), получаем

Тем самым равенство (1.29) доказано. А так как дробь, стоящая в правой части (1.32) является разностью двух правильных дробей, то она сама является правильной.

Лемма 1.2 Пусть знаменатель правильной рациональной дроби (1.27) имеет комплексные корни a = u + iv è a = u ¡iv кратности ®, òî åñòü

ãäå '(a) =6 0, '(a) =6 0, p = ¡2u, q = u2 + v2. Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:

В этом представлении M è N некоторые вещественные числа, k 2 N, à Ã некоторый многочлен с вещественными коэффициентами, при- чем последняя дробь в правой части (1.34) является правильной.

Доказательство. Пусть, как обычно, Re (A) è Im (A) обозначают вещественную и мнимую части комплексного числа A. Положим