PDE

Уравнения математической физики

В силу того, что в вакууме отсутствуют заряды, дивергенция напряженности электрического поля равна нулю, и уравнение для скалярного потенциала преобразуется в волновое

уравнение

1 @2'' c2 @t2 = 0

Таким образом, из уравнений Максвелла получаются не только волновые уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей, но и волновые уравнения для скалярного и векторного потенциалов.

§2 Пространства функций. Теория операторов.

Все рассматриваемые далее функции будут считаться ¾хорошими¿, то есть удовлетворяющими всем необходимым условиям для дифференцирования и интегрирования. Множество таких функций будет называться множеством основных функций F. В качестве F удобно брать множество бесконечно дифференцируемых финитных функций, которое образует линейное пространство со скалярным произведением

Z

(f; g) = f (x)g(x)dx (2.1)

R

Такие ограничения необходимы, чтобы все описываемые далее преобразования имели смысл. После того как будет дано определение гильбертова пространства, пространство F будет рассматриваться исключительно как гильбертово пространство функций H.

2.1Элементы теории обобщенных функций.

Обобщенной функцией называется отображение пространства F основных функций на множество C. Наиболее часто используемая обобщенная функция дельта-функция Дирака, вырезающая одно значение из функции аргумента. Дельта-функцию можно определить через интеграл

Z

R

Альтернативное определение дельта-функции можно дать через преобразование Фурье. В квантовой физике преобразование Фурье определяется соотношениями

R

Легко видеть, что обратное Фурье-преобразование теряет смысл, если в качестве импульсного представления F[f] взять некоторую постоянную. Данное неудобство пропадает, если принять

F[1]

(p) = p (2.3)

2 ~

10

Уравнения математической физики

Существует также и секвенциальный подход к определению дельта-функции представление дельта-функции как предела последовательности некоторых элементарных функций. Ниже приведены несколько определений через пределы2

Четвертое определение дельта-функции является операторным. Оператором называется отображение пространства функций F на пространство функций G. Единичный оператор отображает функцию саму на себя

^

If = f

Легко видеть, что оператор ^ является линейным, а значит, представим в виде интеграла

I

Z

I(x; y)f(y)dy = f(x)

R

Где функция I называется интегральным ядром оператора. Так дельта-функцию можно

2.2Гильбертовы пространства.

В линейных пространствах различают сильную и слабую сходимость. Сильной сходимостью последовательности f jg L к в линейном L называется сходимость по метрике

lim ( j; ) = 0

j!1

В то время как слабой сходимостью сходимость по скалярному произведению. Далее везде под сходимостью будет предполагаться сильная сходимость.

Последовательностью Коши называется последовательность f jg L если

8" 9n 8i; j > n: ( i; j) < "

И соответственно последовательность называется сходящейся к элементу u, если

8" 9n 8j > n: ( j; u) < "

Пространство называется полным, если любая его последовательность Коши сходится к элементу данного пространства. Пространство называется унитарным, если в нем определено скалярное произведение L2 ! C, удовлетворяющее трем аксиомам:

( ; ) = ( ; )

( ; a + b ) = a ( ; ) + b ( ; ) ( ; ) > 0 и ( ; ) = 0 , = 0

2В последнем выражении t может принадлежать множеству комплексных чисел, но обязательно должно выполняться условие Re t > 0

11

Уравнения математической физики

Полное унитарное пространство называется гильбертовым и обозначается H. Гильбертово пространство называется сепарабельным, если в нем существует всюду плотное счетное подмножетсво3.

Два элемента H называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Соответственно, ортогональной последовательностью называется последовательность, каждые элементы которой попарно ортогональны. Ортонормированной последовательностью называется f jg, если ( i; j) = ij.

Последовательность f jg называется полной, если @ 2 H такого, что 6= 0 и ( ; j) = 0 при любом j.

Полные последовательности представляют собой особый интерес, так как их можно использовать в качестве базиса пространства, что следует из следующей теоремы.

Теорема 1 (Основная теорема) Если f jg ортонормированная последовательность из H, то четыре следующих утверждения эквивалентны

1. f jg полная последовательность

Доказательство. В качестве первого шага доказывается наиболее простое утверждение 1 ) 2. Действительно, пусть

X

a = f ( j; f) j

j

Так как a является линейной комбинацией счетного числа элементов из H, то a 2 H. Скалярное произведение на любой элемент последовательности дает ноль

X X

( i; a) = ( i; f) ( j; f) ( i; j) = ( i; f) ( j; f) ij = 0

j j

Но так как последовательность f jg является полной, не существует отличных от нулевого элементов, ортогональных каждому элементу последовательности, что и доказывает утверждение 1 ) 2.

Далее пусть выполняется 2, это значит, что скалярное произведение двух элементов H можно разложить по базису следующим образом

Следовательно, верно что 2 ) 3. Утверждение 3 ) 4 доказывается тривиально, достаточно положить f = g в предыдущей формуле для скалярного произведения.

3Подмножество K множества H называется плотным в H, если для любого 2 H существует последовательность f jg K, сходящаяся к .

12

Уравнения математической физики

Если считать, что выполняется 4, то достаточно предположить, что система неполная, а следовательно, существует такой элемент f, который ортогонален всем элементам последовательности, однако из 4 следует, что его норма равна нулю, а по третьей аксиоме скалярного произведения это может быть верно только, тогда когда элемент является нулевым, следовательно 4 ) 1.

Таким образом, если верно хотя бы одно утверждение из списка, то все остальные получаются из него следованием по цепочке, а значит, все четыре утверждения эквивалентны.

Замечание 1. Из теоремы следует, что полные ортонормированные системы могут быть использованы в качестве базиса, однако доказательство полноты произвольно выбранной системы нетривиально. Если использовать определение (2.1), то можно расписать разложение элемента по базису следующим образом

Z

XX

Откуда следует критерий полноты системы: необходимо, чтобы выражение в скобках оказалось равным ядру единичного оператора

X

j (y) j(x) = (x y)

j

Из теоремы следует, что H сепарабельно, если оно содержит полную ортонормированную последовательность. В случае несепарабельного H множество базисных элементов f g должно иметь континуальную мощность, то есть индекс является непрерывным. Формально можно рассматривать базисное множество как функцию двух переменных, одна из которых является индексом. Для несепарабельных пространств сохраняется определение ортогональности и имеет место следующая теорема

Теорема 2 Пусть E = f (x): 2 Rg полное ортогональное множество. Если для любого f 2 H выполняется равенство

Z

f(x) = ( ; f) (x)d

R

То множество E нормировано на дельта-функцию

( ; ) = ( )

Доказательство. Действительно, достаточно разложить по базису элемент

Z

(x) = ( ; ) (x)d

R

И сравнить полученное выражение с действием единичного оператора по первому аргументу на этот элемент

Z

^

I (x) = I( ; ) (x)d

R

Отсюда видно, что I( ; ) = ( ; ).

13

Уравнения математической физики

2.3Линейные операторы. Обозначения Дирака.

Оператором называется отображение ^ A ! B. Далее будет считаться, что A B H.

L

:

=

=

Операторы называются равными, если, действуя на одинаковые функции, они дают одинаковые результаты. Как и для функций, для операторов существует понятие непрерыв-

Любой линейный оператор можно представить в интегральной форме

Z

^

Lf = L(x; y)f(y)dy

R

Единичным оператором называется оператор ^ который преобразует любую функцию са-

I

му в себя; ранее было показано, что ядром единичного оператора является дельта-функция

Дирака. Обратным к ^ оператором называется ^ 1, если

L L

Пусть дан линейный оператор ^ и полная ортонормированная последовательность f jg

A

H. Если оператор действует по правилу ^ , то и можно разложить по базису

Af = g f g

!

XX

И в силу линейности внести оператор ^ под сумму

A

XX

Домножение слева на какой-либо вектор последовательности i приводит к следующему выражению

X X

^

( j; f) i; A j = ( k; g) ( i; k) = ( i; g)

j k

Произведение ( i; g) в случае ортонормированного базиса равно компоненте gi в выбранном базисе. Аналогично компоненте fj равно произведение ( j; f). Если ввести обозначение

Полученное выражение примет вид

X

Aijfj = gi

j

14

Уравнения математической физики

Что формально повторяет правило получения результата перемножения вектор-столбца

на матрицу ij. Выражение (2.5) называется матричной формой оператора ^. f A A

Дальше будет удобно ввести следующие обозначения: вектор-столбец с компонентами fi будет обозначаться за jfi, транспонированный и комплексно сопряженный к нему вектор за hfj = jfiy. Тогда скалярное произведение можно записать просто как произведение вектора-строки на вектор-столбец (вторая вертикальная черта опускается)

(f; g) = hf j gi

В этих обозначениях матричная форма опертора ^ имеет вид

A

h j ^ j i

Aij = i A j

Такие обозначения были впервые предложены Дираком для сокращенной записи состояний в квантовой механике, которые также являются векторами в гильбертовом пространстве. Они будут использоваться на протяжении всего параграфа.

2.4Спектральная задача для оператора.

Спектральная задача состоит в поиске такого набора векторов f jg H и чисел f jg C, называемых собственными значениями, для которых выполняется следующее свойство

^ j i j i

L j = j j

Совокупность f jg называется спектром оператора, а совокупность f jg набором собственных функций. Для решения спектральной задачи недостаточно знать вид оператора, так как необходимы также некоторые краевые условия либо любые иные ограничения, накладываемые на набор собственных функций. Часто за такие ограничения берут стандартные условия: непрерывность, однозначность и ограниченность.

Если f jg заполняет некоторый непрерывный интервал, то спектр называют сплошным. Аналогично спектр называют дискретным, если множество f jg счетно, и смешанным, если оно является объединением некоторого счетного множества и непрерывного интервала.

Наиболее важными свойствами обладают наборы собственных функций и спектры эрми-

операторов. Оператор ^y называется сопряженным к ^, если для него выполняется

товых L L

При любых и из H. Соответственно, самосопряженным (или эрмитовым) называет-

ся такой оператор ^, который равен своему сопряженному. Для эрмитовых операторов

L

выполняется следующая теорема

Теорема 3 Собственные значения эрмитового оператора вещественны, а собственные функции ортогональны.

^

Доказательство. Доказательство будет проводиться в обозначениях Дирака. Пусть L некоторый эрмитов оператор, набор собственных значений f jg и функций f jg которого известен. Для каждой пары ( j; j) выполняется равенство

^ j i j i

L j = j j

15

Уравнения математической физики

Которое можно домножить слева на h ij

h j ^ j i h j i

i L j = j i j

В то же время в силу того, что ^ эрмитов, можно записать

L

h j ^ j i h j ^ j i ^ j i yh jy j i y j i h j i

i L j = j L i = L i j = i i j = i i j

Откуда следует, что ( j i ) h i j ji = 0 для любых собственных значений и векторов оператора. Если положить i = j, то на скалярное произведение можно сократить, так как квадрат нормы собственной функции не может быть равен нулю, что даст j = j . Следовательно j 2 R. Если индексы различны, то обнуляться должно скалярное произведение, следовательно собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Замечание 1. В доказательстве предполагалось, что одному j соответствует только одна собственная функция (невырожденный спектр). Если спектральная задача имеет симметрии, то какому-либо собственному значению обязательно будет соответствовать несколько собственных функций (вырожденный спектр). Теорема будет верна и для вырожденного спектра, однако собственные функции, соответствующие одинаковым собственным значениям, следует ортогонализовать.

Замечание 2. Доказательство верно как для дискретного, так и для непрерывного спектра.

Замечание 3. У большинства эрмитовых операторов множество собственных функций принадлежит L2 (множеству функций с интегрируемым квадратом), однако в случае непрерывного спектра это неверно: если система полная, то её можно отнормировать на дельта-функцию, то есть интеграл скалярного произведения собственной функции на себя не сходится.

Замечание 4. Можно доказать, что система собственных функций эрмитова оператора является полной системой, то есть выполняется тождество

X

j (y) j(x) = (y x)

j

однако это достаточно сложно. Далее будет предполагаться, что у любого заданного эрмитова оператора система собственных функций является полной.

2.5Унитарные операторы и преобразования.

Оператор ^ называется унитарным, если сопряженный к нему оператор ^y является для

U U

него обратным. Унитарные операторы являются важными для квантовой механики: из уравнения Шредингера для оператора эволюции

^

@U

^ ^

i~ @t = HU

Следует решение

^ i ^ U = Exp ~tH

16

Уравнения математической физики

Но все наблюдаемые физические величины в квантовой механике описываются эрмитовы-

ми операторами, в частности оператор ^ эрмитов, его собственными значениями являются

H

доступные уровни энергии квантовомеханической системы. Следовательно

^ ^y i ^ i ^ y i ^ ^ y

UU = Exp ~ tH Exp ~ tH = Exp ~ t H H = 1

Это означает, что оператор эволюции квантовой системы является унитарным эволюция квантовых систем описывается унитарными преобразованиями.

Унитарные операторы обладают двумя важными свойствами: они сохраняют значение скалярного произведения, и их собственные значения по модулю равны единице. В самом деле, скалярное произведение двух векторов расписывается как

^ j i y ^ j i h j ^y ^ j i h j i

U U = U U =

Для некоторого собственного значения и собственной функции на равенство, следующее из спектральной задачи

В левой части остается скалярное произведение на себя, а в правой следует воспользоваться определением сопряженного оператора

h j i h j ^y j i h j ^ j i hh j ^ j ii h j j i j j2 h j i

= U = U = U = =

Откуда видно, что модуль собственного значения унитарного оператора равен единице.

Если ^ унитарный оператор, то преобразование

U

8

^y j i ! j 0i

<U f f

^y ^ ^ ! ^0

:U LU L

Называется унитарным преобразованием функций и операторов.

Теорема 4 (Об унитарном преобразовании) Алгебра операторов инвариантна относительно унитарных преобразований функций и операторов в H.

Доказательство. Достаточно доказать, что сохраняется коммутативность операторов, их спектр, матричные элементы и скалярное произведение. Коммутативность сохраняется в силу того, что вид коммутатора не меняется

^0 ^0 ^y ^ ^ ^y ^ ^ ^y ^ ^ ^ ^y ^ ^ ^ ^y ^ ^ ^ ^ ^ ^y ^ ^ ^

[A B ] = [U AU U BU] = U ABU U ABU = U AB BA U = U [A B]U

То есть коммутатор двух операторов также преобразуется по правилу преобразования операторов. Спектр сохраняется, потому как спектральная задача

17

Уравнения математической физики

При переходе к старым функциям и операторам принимает вид

Из этого выражения видно, что = 0. Преобразованная матричная форма (2.5) также сохраняется

произведение не изменяется, достаточно положить ^ ^ в предыдущем равенстве, так

L = I

как

^0 ^y ^^ ^y ^ ^

I = U IU = U U = I

2.6Коммутирующие операторы.

Коммутирующими операторами называются операторы, коммутатор которых тождественно равен нулю. Для коммутирующих операторов имеет место следующая важная теорема

Теорема 5 Операторы имеют общую систему собственных функций тогда и только тогда, когда они коммутируют.

Доказательство. Пусть f jg H общая система собственных функций двух операторов

Тогда, разложив любую функцию jfi 2 H по базису собственных функций, легко получить

XX

Последнее выражение равно нулю в силу того, что действие коммутатора на собственную

функцию дает ноль. Так, коммутатор ^ ^ тождественно равен нулю, а следовательно,

[M L]

^ и ^ коммутируют.

M L

А так как операторы коммутируют, можно заключить, что ^ j i также является собствен-

M

ной функцией, причем соответствующей тому же значению . Это означает, что если число

невырождено, то ^ j i и j i отличаются лишь на постоянный множитель

M a

^ j i j i

M = a

Следовательно является собственной функцией ^ . Если число вырождено, то пусть из

M

набора f ig, соответствуеющего числу для элемента j ji, выполняется уже рассмотренное равенство

^ ^ j i ^ j i

L M j = M j

18

Уравнения математической физики

Это равенство может выполняться, если ^ j ji является линейной комбинацией собствен-

M

ных векторов, соответствующих , то есть ^ j ji принадлежит подпространству, базисом

M

которого является f jg подпространству, все вектора которого являются собственными

^ ^ j i

для L соответствующими значению . Причем для M j это свойство выполняется при любом j. В силу произвольности выбора базиса в подпространстве, в качестве базисных

собственными для L, также являются собственными для M; аналогичные рассуждения

можно провести относительно собственных функций ^ , откуда можно заключить, что

M

наборы собственных функций двух данных операторов совпадают.

Замечание 1. Данное доказательство нестрогое, так как предполагает не только полно-

ту системы собственных функций при доказательстве коммутируемости, но и что f ^ jg

M

можно взять за базис подпространства во второй части доказательства, что верно не всегда. В частности, для этого требуется существование однозначных обратных операторов

для ^ и ^.

M L

В квантовой механике коммутируемость играет важную роль две физические величины одновременно измеримы только тогда, когда их операторы коммутируют. В качестве классического примера можно рассмотреть оператор момента импульса

^ ^ ^

L = [x; p]

Можно показать, что измерить две компоненты момента импульса невозможно, так как

компоненты ^ не коммутируют. Операторы компонент момента импульса, однако, комму-

L

тируют с ^2.

L

Для примера далее будет рассмотрена спектральная задача для двух операторов ^z и ^2.

L L

В сферических координатах выражения для соответствующих операторов принимают вид

Получившуюся функцию можно подставить в спектральную задачу для оператора ^2

L

Которая сводится к следующему уравнению, если сделать замену = Cos

Непрерывные ограниченные и конечные решения данного уравнения существуют, если одновременно выполняются условия L2 = ~2l(l + 1) и jmj 6 l. Такие решения называются присоединенными полиномами Лежандра Pljmj, они связаны с обыкновенными полиномами Лежандра Pl соотношением

djmj

f( ) = (1 2)12 jmj d jmj Pl( )

19