- •Глава 2 – Базовые уравнения теории лопаточных машин и общие закономерности их рабочего процесса
- •2.1 Газодинамические функции
- •2.1.1 Параметры торможения
- •2.1.2 Безразмерные скорости в теории турбомашин
- •2.1.3 Газодинамические функции
- •2.2 Уравнение неразрывности
- •2.3 Уравнения сохранения энергии
- •2.3.1 Уравнение энергии в механической форме в абсолютном движении
- •2.3.2 Уравнение энергии в механической форме в относительном движении
- •2.3.3 Уравнение энергии в тепловой форме в абсолютном движении
- •2.3.4 Уравнение энергии в тепловой форме в относительном движении
- •2.4 Уравнение количества движения
- •2.6 Уравнение моментов количества движения
- •2.6.1 Основные выводы из уравнения моментов количества движения
- •2.6.2 Влияние частоты вращения на работу ступени
- •2.6.3 Понятие о треугольниках скоростей
- •2.6.4 Влияние разности на работу ступени
- •2.7 Основные закономерности течения газа в межлопаточных каналах и механизмы возникновения потерь
- •2.7.1 Потери трения и концевые потери
- •2.7.2 Кромочные потери
- •2.7.3 Потери связанные с отрывом потока
- •2.7.4 Волновые потери
- •2.7.5 Вторичные потери
- •2.7.6 Потери в радиальном зазоре
- •2.7.7 Потери в осевом зазоре
- •2.7.8 Дисковые потери
- •2.8 Важнейшие формулы главы №2
2.6 Уравнение моментов количества движения
Из теоретической механики известно, что равнодействующая всех сил R, действующих на тело массойmTи скоростьюсT, отстоящее от оси вращения на расстоянииr, создает крутящий момент относительно осиО-О(рисунок 2.20):
|
|
2.6.1 |
Рисунок 2.20 – К пояснению понятия момента количества движения
Крутящий момент равен изменению момента количества движения в единицу времени:
|
|
2.6.2 |
Рассмотрим участок стационарного потока рабочего тела в канале межлопаточном произвольной формы (рисунок 2.3). Его форма, а также все параметры потока на входе и выходе известны. Рассматриваемый участок разделяется на бесконечное число элементарных струек. Каждая из них представляет собой цилиндр с криволинейной образующей, поперечное сечение которого настолько мало, что значения параметров потока в любой его точке можно считать одним и тем же.
Рассмотрим течение рабочего тела через любую случайно выбранную элементарную струйку. В начальный момент времени выделенный объем находился в положении 1-2. Через бесконечно малый отрезок времениdtон переместиться в положение 3-4 (рисунок 2.21). Отрезок времениdtпринимается настолько малым, что параметры потока в каждом сечении в его начальный и конечный момент можно считать неизменными (с1u= с3u;с2u= с4u;r2=r4;r1=r3и т.д.).
Рисунок 2.21 – Схема течения в канале произвольной формы
Равнодействующая сил, действующая на рассматриваемую струйку , относительно осиО-Осоздает крутящий момент
Как видно из рисунка 2.21, область 3-2является общей для начального и конечного положения рабочего тела. Поэтому рассматриваемое движение может быть представлено следующим образом: в неизменный в теченииdtвремени объем3-2втекает объем1-3и вытекает2-4. То есть, изменение момента количества движения рассматриваемой струйки относительно осиО-О за времяdtравно разности моментов количества движения масс1-3и2-4 относительно той же оси:
|
|
2.6.3 |
Поскольку рассматривается установившееся движение, то . Учитывая, что отношение массы элемента ко времени равно расходу рабочего тела через элементарную струйкуокончательно имеем:
|
|
2.6.4 |
Запишем для всех струек уравнения моментов количества движения и сложим между собой. Если для всех элементарных струек одинаковы значения и, а на выходе одинаковыи, тогда получим:
|
|
2.6.5 |
Умножим обе части последнего уравнения на величину угловой скорости , затем разделим обе части на расход рабочего телаG.
|
|
2.6.6 |
Левая часть уравнения представляет собой удельную работу на окружности колеса элементарного лопаточного венца:
Кроме того, учитывая, что произведение угловой скорости на радиусrравно окружной скорости, окончательно получим:
|
|
2.6.7а |
Данное уравнение называется уравнением моментов количества движения применительно к лопаточным машинам. Оно было также выведено Л. Эйлером.
Это уравнение устанавливает связь работы, передаваемой лопатками потоку, с кинематическими параметрами потока.
Для осевых лопаточных машин . Поэтому уравнение примет вид:
|
|
2.6.7б |
Запишем это уравнение применительно к компрессору и турбине. Форма записи для компрессора полностью совпадает с канонической формой (2.6.7). В турбине же работа совершается газом по вращению РК, поэтому знаки в правой части меняются на противоположные ().
Окончательно имеем для компрессора:
|
; |
2.6.8к |
для турбины:
|
|
2.6.8т |
Сопоставляя уравнения 2.6.8к и 2.6.8т можно сделать выводу о том, что компрессор и турбина являются обращенными машинами, поскольку уравнения описывающие процессы в них имеют одинаковую форму, но имеют разные знаки.
Полученные уравнения имеют большое значение в теории турбомашин. Несомненным достоинством уравнения моментов количества движения является то, что его использование не требует знания распределения давления по поверхности лопаток. Надо только знать кинематические параметры на входе и выходе из РК.