1.2 Методы определения точечных и интервальных оценок показателей надёжности

Для нахождения законов распределения случайных величин необходимо обладать достаточно большим статистическим материалом, т.е. провести большой объём испытаний. На практике всегда приходится иметь дело с ограниченным статистическим материалом. Такого ограниченного материала явно недостаточно, чтобы найти заранее неизвестный закон распределения, но этот материал может быть использован для оценки важнейших численных характеристик распределения- математического ожидания, дисперсии и т.д. На практике нередко бывает, что вид закона распределения известен заранее, а требуется найти только параметры распределения и надёжности. В некоторых случаях закон распределения может быть вообще несущественен, а требуется найти только числовые характеристики.

Оценки параметров распределения могут быть точечными и интервальными.

Рассмотрим нахождение точечных оценок. Если мы проведём n испытаний случайной величины X, то мы получим выборку, которая также будет случайной . Эту выборку можно рассматривать какn случайных величин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и случайная величина X. Пусть нам надо определить некоторый параметр а, связанный с законом распределения X. Так как величина а будет вычисляться на основе использования случайных величин, то величина а также будет случайной, а её любое вычисленное значение носит название оценки, которую будем обозначать , т.е.

Закон распределения зависит от законов распределения, вида функциии количества опытовn.

К такой точечной оценке предъявляется ряд требований.

1. Оценка должна быть состоятельной, т.е. при увеличении числа опытов n необходимо, чтобы .

2. Оценка должна быть несмещённой, чтобы не возникла систематическая погрешность. Для этого необходимо выполнение условия .

3. Оценка должна быть эффективной, т.е. по сравнению со всеми другими оценками должна обладать минимальной дисперсией.

Одним из наиболее эффективных приемов оценки неизвестных средней наработки на отказ и её дисперсиипо результатам нескольких испытаний является метод наибольшего правдоподобия.

Рассмотрим показательное распределение . Пусть на испытания были поставленыN изделий. За время произошлоn отказов в моменты времени . Требуется выяснить неизвестный параметр. Если принять, что произошедшие отказы события независимые, то плотность их совместного распределения равна

(1.1)

Функция правдоподобия по Фишеру равна

(1.2)

Максимум очевидно будет достигаться в той же точке, что и. Поэтому необходимо решить уравнение.

(1.3)

Откуда получаем искомую оценку

(1.4)

Как известно, при экспоненциальном законе величина равна средней наработке на отказ. Таким образом, полученная оценка максимального правдоподобия есть отношение суммарной наработкиN изделий за время к числу отказовn.

При плане [N,Б,r] оценка максимального правдоподобия будет иметь вид:

(1.5)

где момент наступления последнего из отказов.

При испытаниях по планам [NUT] и {NUT} мы располагаем только сведениями о числе изделий N, подвергнутых испытаниям, и числе изделий n, отказавших за время испытаний T. При этом единственным показателем, который может быть оценен, является вероятность отказа q за время испытаний. Если в качестве случайной величины рассматривать число отказов n и считать, что появление отказов равновероятно при проведении однотипных независимых испытаний (q=const), то вероятность возникновения n отказов определяется формулой Бернулли:

, (1.6)

Где n=0,1,2,…,N; .

Эта функция распределения числа отказов подчиняется биноминальному распределению:

. (1.7)

При таких испытаниях оценивается один параметр q. Метод максимального правдоподобия даёт оценку:

(1.8)

Верхняя и нижняя границы доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности , определяются из уравнений:

(1.9)

В случае проведения безотказных испытаний по этой схеме n=0 и из (1.4) может быть определена только верхняя граница вероятности возникновения отказа:

или (1.10)

Используя определения вероятности безотказной работы , получим для нижней границы вероятности безотказной работы при безотказных испытаниях соотношение:

(1.11)

Эта формула находит широкое применение на практике при подтверждении работоспособности высоконадёжных систем, так как в этом случае испытания, как правило, безотказные. Результаты расчёта по (12.84) показывают, что подтверждения высоких уровней надёжности требуется очень большое число испытаний. Ниже представлены объёмы безотказных испытаний N, которые с доверительной вероятностью позволяют подтвердить соответствующие им значения нижней границывероятности безотказной работы.

N	10	100	1000	10000
	0,795	0,977	0,998	0, 9998

Очевидно, проведение такого числа испытаний при производстве летательных аппаратов не представляется возможным. Объем испытаний, как правило, предопределён возможностями технологической базы, стоимостью и сроками отработки. В связи с этим возникает задача определения и подтверждения высоких уровней надёжности при малом числе испытаний.