22. Поверхности. Классификация, определитель и каркасы поверхностей.

Поверхностью называется совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Эту линию называют образующей. Перемещение образующей может быть подчинено какому-нибудь закону или быть случайным. В первом случае поверхность называют закономерной, а во втором — незакономерной. Выделяют три способа образования поверхностей: аналитический (поверхность задается уравнением); каркасный (поверхность задается определенной совокупностью точек и линий); кинематический (поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии (образующей), перемещающейся в пространстве по определенному закону. Совокупность геометрических элементов (форма образующей, форма направляющей, закон перемещения образующих) и связей между ними называется определителем поверхности. Определитель поверхности состоит из двух частей: 1) геометрическая часть определителя — совокупность постоянных геометрических элементов и соотношения между ними; 2) алгоритмическая часть определителя — закон, по которому строятся тоски и линии поверхности. В зависимости от формы образующей и закону перемещения поверхности можно приблизительно разделить на группы. Линейчатые поверхности — поверхности, образующей которых является прямая линия. Линейчатые поверхности могут быть: развертываемые поверхности, т.е. после разреза их по образующей можно совместить с плоскостью без разрыва и складок; неразвертываемые поверхности, т.е. их нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок. Нелинейчатые поверхности — поверхности, образующая которых является кривой линией. Нелинейчатые поверхности могут быть: с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности; с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности. Если представить себе совокупность прямолинейных образующих и совокупность образующих окружностей, то каждая линия одной совокупности пересечет все линии другой совокупности, в результате чего получается каркас данной поверхности.

23. Поверхности вращения. Построение точки на поверхности вращения.

Поверхности, образованные вращением линии (образующей) вокруг прямой (оси вращения), называются поверхностями вращения. Определитель поверхности вращения включает образующую и ось вращения. При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает в пространстве окружность. Эти окружности называют параллелями. Плоскости параллелей всегда перпендикулярны к оси вращения. Наибольшую из параллелей называют экватором, наименьшую — горлом поверхности. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной плоскостью. Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности. Если поверхность вращения образована вращением прямой линии, то поучаем линейчатую поверхность, коническую или цилиндрическую. Если поверхность вращения образована вращением кривой линии, то получаем нелинейчатую поверхность, сферу или тор. Сфера — поверхность, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра. Тор — поверхность, образованная вращением окружности (или ее дуги) вокруг прямой — оси вращения, размещенной в плоскости окружности и не проходящей через центр окружности. Тор называется замкнутым, если ось вращения пересекается с окружностью, которая образует его, и открытым, если ось вращения не пересекается с окружностью, которая его образует. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг одной из осей. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг оси. Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг оси. При вращении гиперболы вокруг мнимой оси получается однополосный гиперболоид вращения, а при вращении вокруг действительной оси — двуполостный гиперболоид вращения. Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения.