3. Десятичная система счисления

Десятичная система счисления – это позиционная система счисле­ния, состоящая из 10 разных цифр и изучаемая в школе:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Здесь значение цифры зависит от её положения в записи числа. Например, если цифра 1 стоит в числе на первом месте справа, то она значит один, если на 2-м месте справа, то десять, на 3-м месте справа – сто, и т. д. Так, в числе 512 пять сотен, один десяток и две единицы.

Однозначное число записывается 1 цифрой; количество таких чисел совпадает с количеством цифр: 1-значных чисел всего 10: 0, 1, 2, ..., 9. Двузначное число записывается 2 цифрами, трехзначное число — 3 и т. д.

Заметим, что однозначные числа легко превратить в двузначные без изменения их значения, записав их в виде 00, 01, 02, ..., 09 – нули в начале числа не влияют на величину числа. Также однозначные и двузначные числа можно превратить в трехзначные и т. д.

Подсчитаем количество однозначных, двузначных и т. д. до десятизначных чисел и сведём результаты в таблицу:

Таблица 1.1: Количество однозначных, двузначных и т. д. десятичных чисел

Кол-во цифр в числе	Количество чисел
1	10 = 101
2	100 = 102
3	1000 = 103
4	10 000 = 104
5	100 000 = 105
6	1 000 000 = 106
7	10 000 000 = 107
8	100 000 000 = 108
9	1 000 000 000 = 109
10	10 000 000 000 = 1010

Эта таблица говорит о том, что однозначными десятичными числами можно закодировать 10 предметов, приписав каждому предмету одно из 10 однозначных чисел. Двузначными десятичными числами – 100 предметов, и т. д.

4. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это позиционная система счисления, состоящая только из двух цифр:

0 и 1.

В компьютерах используется именно эта система счисления из-за своей простоты. Простота выполнения операций в двоичной системе счисления связана с двумя обстоятельствами:

1. простотой аппаратной реализации: 1 – есть сигнал, 0 – нет сигнала;

2. самое сложное действие таблицы умножения – это 1₂ х 1₂=1₂, а таблицы сложения – 1₂+1₂ = 10₂.

Почему в двоичной системе при сложении двух единиц счисления получается десять? Эта ситуация аналогична той, когда в десятичной системе к девяти прибавляется один: 9₁₀ + 1₁₀ =.10₁₀ На девятке цифры десятичной системы заканчиваются, и затем следует наименьшее двузначное число десять 10₁₀. В двоичной системе цифры заканчиваются на единице, и после неё идет наименьшее двузначное число десять 10₂.

Двойка внизу в виде нижнего индекса означает, что числа записаны в двоичной системе. При записи чисел в разных позиционных системах счисления основание системы записывается в виде нижнего индекса. Этот индекс всегда записывается только в десятичной системе счисления.

Пользуясь описанными выше действиями, можно записать таблицы умножения и сложения для двоичной системы (смотри таблицы ниже). При этом таблица сложения оказывается сложнее таблицы умножения.

Таблица 1.2: Умножение двоичных чисел

X	0	1
0	0	0
1	0	1

Таблица 1.3. Сложение двоичных чисел

+	0	1
0	0	1
1	1	102

В двоичной системе счисления имеется:

• 2 однозначных двоичных числа 0 и 1;

• 4 (= 2²) двузначных двоичных числа: 00, 01, 10₂ и 11₂;

• 8 (= 2³) трехзначных двоичных чисел от 000 до 111₂;

• 16 (= 24) четырехзначных двоичных чисел от 0000 до 1111₂.

.Рассуждая по аналогии и учитывая подобный опыт подсчета количества таких чисел для десятичной системы, получим следующую таблицу.

Таблица 1.4. Количество однозначных, двузначных и т. д. двоичных чисел

Количество цифр в двоичном числе	Количество двоичных чисел
1	2 = 21
2	4 = 22
3	8 = 23
4	16 = 24
5	32 = 25
6	64 = 26
7	128 = 27
8	256 = 28
9	512 = 29
10	1024 = 210

Из этой таблицы следует, что однозначными двоичными числами можно закодировать только два объекта, двузначными – четыре объекта, трехзначными – восемь объектов и т. д.