- •1. Формула Тейлора 2-го порядка с остаточным членом в форме Пеано для функции нескольких переменных.
- •2. Теорема о смешанных производных.
- •7.3.1. Теорема о смешанных производных
- •3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной.
- •4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции нескольких переменных.
- •5. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •6. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •7. Лемма о знакопостоянной функции .
- •8. Необходимое условие глобального экстремума функции.
- •8.3.2. Необходимое условие глобального экстремума
- •9. Метод Лагранжа отыскания экстремумов (доказательство теоремы).
- •10. Лемма о системе линейных уравнений. Следствие.
- •1. Лемма о многочлене Тейлора .
- •2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •3. Вывод формулы для . Частный случай для.
- •4. Асимптоты функции.
- •5. Разложение синуса по формуле Маклорена.
- •6. Разложение косинуса по формуле Маклорена.
- •7. Условие строгой монотонности функции (1-е утверждение теоремы 8.1).Теорема
- •8. Условие нестрогой монотонности функции (2-е утверждение теоремы 8.1).
- •9. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных.
- •10. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Следствие. Пусть функция раз дифференцируема в окрестноститочки. Тогда для любогосправедлива формула
. (4)
Доказательство. Достаточно установить, что . Имеем
.
Отсюда следует, что . Следовательно,
, где .■
Формула (4) называется формулой Тейлора порядка с остаточным членом в форме Пеано.
3. Вывод формулы для . Частный случай для.
Дифференциал функции
называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.
Пусть при фиксированных значениях приращений , первый дифференциалявляется дифференцируемой функцией переменных. Дифференциал первого порядка от функцииназываетсядифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции и обозначается символом, т.е.
Пусть уже определен дифференциал -го порядкафункции, и он является при фиксированных значениях приращений дифференцируемой функцией. Дифференциал первого порядка от функцииназываетсядифференциалом -го порядка функции и обозначается символом, т.е.
Заметим, что при построении каждое слагаемое в заменяется на слагаемых, поэтому количество слагаемых у дифференциалавраз больше количества слагаемых у дифференциала.
Найдем выражение для второго дифференциала :
. (9)
Частный случай. Для функции от двух переменных выражение для второго дифференциала имеет вид
.
Если смешанные производные второго порядка функции непрерывны, то они равны (теорема 7.1). В этом случае второй дифференциал функцииимеет вид
. ▲
4. Асимптоты функции.
Асимптоты графика функции — это прямые. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Среди наклонных асимптот выделяют горизонтальные асимптоты.
Прямая , параллельная оси, называется вертикальной асимптотой графика функции , если один из пределов
,
или оба равны .
Если — вертикальная асимптота графика функции , то— точка разрыва функции2-го рода. Например, график функцииимеет вертикальную асимптоту, так как
, .
Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции , еслиили.
Теорема 8.7. Прямая тогда и только тогда является наклонной асимптотой графика функции при ,когда существуют
конечные пределы
, (6)
(, ).
Необходимость вытекает из следующих цепочек равенств:
—асимптота
.
.
Достаточность. Пусть существуют конечные пределы (6). Тогда
.
Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой графика функциипри. Аналогично рассматривается случай при.