3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной.

Пусть функция раз дифференцируема в точке. Многочлен

(1)

называется многочленом Тейлора порядка для функции в точке.

Лемма. Если является многочленом Тейлора для функции вточке , то справедливы следующие утверждения:

Доказательство. Найдем все производные многочлена Тейлора, который запишем в виде , где,:

………………………….

…………………………..

, .

Отсюда следует, что ■

Теорема 7.1. Пусть функция раз дифференцируема в окрестноститочки. Тогда для любогосправедлива формула

, . (2)

Доказательство. Рассмотрим функцию . Теорема будет доказана, если установить, что

, .

Так как функции ираз дифференцируемы в окрестности, то и функциятакжераз дифференцируема в этой окрестности. Из леммы следует, что

Рассмотрим функцию . Тогда

Для пары функций ивыполняются условия леммы из § 5.5. Из этой леммы следует, что

, .

Так как ,, то

,

где точка лежит между точкамии.■

Функция называетсяостаточным членом формулы Тейлора, а формула (2) называется формулой Тейлора порядка с остаточным членом в форме Лагранжа. Так как точка является внутренней точкой отрезка, то найдется такое число,, что. Теперь остаточный член в форме Лагранжа можно записать в виде

, .

4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции нескольких переменных.

Теорема 7.2. Если функцияв окрестноститочкиимеет непрерывные частные производные до-го порядка включительно, то

справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

, . (1)

Доказательство. Придадим переменным такие приращения, чтобы точкапринадлежала окрестности. Рассмотрим сложную функцию от одной переменной:

. (2)

Теперь запишем формулу Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа:

, .

Отсюда при получаем

, . (3)

Из равенства (2) и следствия из теоремы 6.5 имеем:

.

Продолжая таким образом далее, получим

, . . . , .

Так как ,, то

,

Теперь из формулы (3) следует

.

5. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.

Теорема 8.4. Функция дифференцируема на интервале. Следующие условия равносильны.

1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .

2. Производная не возрастает (не убывает) на интервале .

Доказательство

12.Возьмем на интервале произвольные точки. Проведем

касательную к графику функции в точке. Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует

(2)

Теперь проведем касательную к графику функции в точке. Тогда из выпуклости функции вверх (вниз) следует

. (3)

Сложим неравенства (2) и (3), и после простых преобразований получим

.

Итак, если , то, т.е. производнаяявляется невозрастающей (неубывающей) функцией.

Следствие. Функция дважды дифференцируема на интервале. Тогда равносильны условия.

1. Функция выпукла вверх (вниз) на интервале .

2. Вторая производная неположительна (неотрицательна) на интервале .

Доказательство. Используя теорему 8.4 и второе утверждение теоремы 8.1, в котором роль функции играет производная, получим следующую цепочку равносильных утверждений:

функция выпукла вверх (вниз) на интервале

производная не возрастает (не убывает) на интервале

производная на интервале . ■