6. Указания по выполнению контрольной работы

6.1. Модель поведения потребителя

Теория потребления — одна из основополагающих дисциплин микроэкономики. Она исследует экономические решения, в особенности в области потребления частными экономическими агентами.

Теория потребления основывается на допущении, что агент стремится к удовлетворению всех своих материальных и нематериальных потребностей. Удовлетворение потребностей является главным смыслом экономической деятельности. Чем лучше оно удается агенту, тем выше польза как экономическое понятие.

Благо в теории потребления — любой объект потребления, доставляющий определенное удовлетворение потребителю. Блага потребляются, как правило, в определенных наборах. Набор благ - совокупность конкретных видов благ в определенных объемах, потребляемых в данный период.

Необходимыми предпосылками теории потребительского выбора являются следующие аксиомы.

Аксиома полной упорядоченности предпочтений потребителя. Эта аксиома предполагает, что потребитель сам должен принимать решения относительно потребления и осуществлять их.

Аксиома транзитивности предпочтений потребителя. Чтобы принять определенное решение и реализовать его, потребитель должен последовательно переносить предпочтения с одних благ и их наборов на другие. Предположение о транзитивности гарантирует рациональность (согласованность) предпочтений. В ином случае поведение потребителя противоречиво. В этой связи говорят, что «предпочтения свернулись в кольцо», т. е. изменились вкусы.

Аксиома о ненасыщаемости потребностейгласит, что потребители всегда предпочитают большее количество любого блага меньшему (или «больше всегда лучше»).

Эти три предпосылки необходимы для того, чтобы определить функцию полезности.

Функция полезности — это целевая функция действий потребителя в потребительском выборе, выражающая процесс упорядочивания выбираемых потребителем наборов благ до уровня удовлетворения потребностей.

Полезность выражает меру удовлетворения, которое получает субъект от потребления благ. Полезность понятие сугубо индивидуальное: полезное для одного субъекта может быть бесполезно для другого. Полезность зависит от потребительских свойств благ и от самого процесса потребления, от того, кто и как удовлетворяет свои потребности. Полезность имеет свойство порядковой измеримости, когда альтернативы могут быть ранжированы, но не имеет свойства количественной измеримости.

Обозначим функцию полезности:

, ,,

где индекс - вид блага,,- количество-го блага;

числовое значение функции полезности.

Тогда предельная полезность — это приращение степени удовлетворения (полезности) при потреблении или использовании дополнительной единицы блага за определенный период времени. Предельной полезностью называют полезность, равную приращению общей полезности вследствие покупки дополнительной единицы данного блага:

, .

Свойства функции полезности:

1. , ;

2. , ;

3. , ,.

Поверхность безразличия описывается уравнением , гдеC– любая константа. Приn= 2 имеем, откуда.

Предельная норма замещения товаров выражается через отношение их предельных полезностей, взятое со знаком минус:

.

Модель поведения потребителя

Покупатель при выборе приобретаемых благ обладает определенными индивидуальными предпочтениями, но он ограничен в удовлетворении своих предпочтений бюджетным ограничением. Бюджетное ограничение — это фактор, ограничивающий покупательные возможности субъекта в виде цен на блага или уровня дохода.

Составим математическую модель задачи поведения потребителя для двух благ в виде:

1. Переменные ,- вектор благ;

постоянные величины - цены на блага;

- доход потребителя.

2. Целевая функция: ;

3. Система ограничений (бюджетное ограничение):

Получили задачу на условный экстремум.

Решение этой задачи может быть выполнено несколькими способами.

1. Геометрический метод решения. Заключается в нахождении координат точки касания кривой безразличия с бюджетным ограничением.

2. Аналитическое решение для задачи с двумя переменными – приведение целевой функции к одной переменной (значения производных основных функций можно посмотреть в приложении 1).

3. Аналитическое решение (может быть использовано и для задачи с любым количеством переменных) - введение функции Лагранжа:

.

Рассмотрим применение всех способов далее на примерах.

Пример 1.Проверить, может ли функция:, приx₁>1;x₂>1 являться функцией полезности.

Решение.

Если x₁>1;x₂>1, то.

1. ; .

2. .

3. .

Ответ:условия функции полезности выполнены,можно использовать как функцию полезности.

Пример 2.Построить карту безразличия для функции полезности:,x₁>0;x₂>0.

Решение.

1. , (C =const);или

Рис. 1. Карта безразличия функции

Графически это гиперболы в первом квадранте, например

а) при C= 1 получаем;

б) при С= 2 получаем(см. рис. 1).

Пример 3.Найтигеометрическое решениезадачи максимизации индивидуальной функции полезностипри наличии бюджетных ограничений:,.

Решение.

1. Из приp₁= 1,p₂= 3 иJ= 5 получаем:

– это бюджетная прямая.

Запишем ее уравнение в отрезках .

2. Построим на системе координат (см. на рис. 2) бюджетную прямую – прямую АВ икривую безразличия, то есть.

Рис. 2. Геометрическое решение

3. Решим систему уравнений графически.

откуда – гипербола.

1) приС = 1;

2) при;

3) при.

Ответ:оптимальный набор благx₁  2; x₂ 1.

Пример 4.Найтианалитическое решениезадачи максимизации индивидуальной функции полезностипри наличии бюджетного ограничения , если иJ=5.

Решение.

Известны:

Требуется найти значения .

Приведенем функцию полезности к зависимости от одной переменной.

1. Из выразимx₂:.

2. Подставим найденное значение x₂ в целевую функцию. Получим функцию одного аргументаx₁:

.

3. Исследуем на экстремум с помощью производной по стандартной схеме:

;

если ;

;

.

Для проверки вида экстремума можно использовать вторую производную: , следовательно, это точка максимума.

4. Находим .

Ответ: оптимальный набор благ,.

Пример 5.Найти решение задачи максимизации функции полезностипри наличии бюджетного ограничения , если иJ=5 с помощьюфункции Лагранжа.

Решение.

Известны:

Требуется найти значения .

1. Составим функцию Лагранжа:

.

2. Найдем первые частные производные функции по переменными приравняем их к нулю:

3. Разделим поэлементно первое уравнение на второе, получим:

, откуда следует

или

.

4. Используя третье равенство в последней системе уравнений, получим:

;

;

.

5. .

Ответ: оптимальный набор благ,.