6.4. Статическая модель линейной многоотраслевой экономики

Модель Леонтьева характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска.

Обозначим:

–общий валовый объём продукции i–й отрасли,

–объём продукции i–й отрасли, потребляемыйj–й отраслью в процессе производства при выпуске объёма продукции

–объём конечного продукта i–й отрасли для непроизводственного потребления,.

Так как валовый объём продукции любой i–й отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемойпотраслями и конечного продукта, то получаем уравнение:

, .

В стоимостном межотраслевом балансе все величины, входящие в это уравнение, имеют стоимостное выражение. Межотраслевой баланс может быть составлен в денежной и натуральной форме.

Технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объём потребления j–й отраслью продукцииi–й отрасли при производстве своей продукции в объемеединиц есть технологическая константа:

, ,

это коэффициенты прямых затрат. Показывают затраты продукции i–й отрасли на производство единицы продукцийj–й отрасли.

Этот важный факт был установлен В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед Второй мировой войной: в течение длительного времени величины - коэффициенты прямых затрат меняются очень незначительно и потому могут рассматриваться как постоянные числа.

Согласно этой гипотезе выразим:

.

Тогда уравнения межотраслевого баланса можно переписать в виде системы уравнений:

Введем в рассмотрение соответственно:

–вектор-столбец объемов производственной продукции (вектор валового выпуска);

–вектор-столбец объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления);

–матрица коэффициентов прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда система уравнений в матричной форме примет вид:

Это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса или модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях, а именно:

• с одной стороны, определение объемов конечного спроса ,на каждыйi-й продукт по известному валовому выпуску,;

• с другой стороны, решение обратной задачи, то есть определение валового выпуска отраслей по заданному конечному спросуи известных технологических возможностях, то есть расходных коэффициентах.

Рассмотрим решение задачи первого типа.

Известен вектор объемов валового выпуска . Требуется вычислить вектор объемов конечного потребления

Пример 10. Пусть векторвыпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребленияAдля трех различных отраслей производства имеют соответственно вид

,

Требуется вычислить вектор объемов конечного потребления

Решение.

Из матричного уравнения межотраслевого баланса получим для вектора объемов конечного потребления выражение в виде:

.

Находим матрицы:

.

Тогда по формуле получим:

Ответ:, то есть объемы конечного продукта составляют для: первой отрасли – 110 ед.;

второй отрасли – 40 ед.;

третьей отрасли – 60 ед.

Рассмотрим решение задачи второго типа.

Для некоторого периода времени известен вектор конечного потребления и матрица коэффициентов прямых затратA. Требуется определить вектор валового выпуска.

Решение этой задачи в общем виде:

1.

2.

Однако такая система в силу прикладного характера данной задачи имеет особенности: все элементы матрицы A, и векторовидолжны быть неотрицательными.

Матрица A, все элементы которой неотрицательны, называетсяпродуктивной, если для любого векторас неотрицательными компонентами существует решение уравнения вектор, все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Матрица называется матрицейполных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Используем два из них.

Первый критерий продуктивности. МатрицаAпродуктивна тогда и только тогда, когда матрицасуществует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. МатрицаAс неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

,

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Пример 11.Таблица 11 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период.

Таблица 11

№ п/п	Отрасль	Потребление			Конечный продукт	Валовой выпуск
		1	2	3
1	Добыча и переработка нефти	5	35	20	40	100
2	Энергетика	10	10	20	60	100
3	Машиностроение	20	10	10	10	50

Требуется найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30.

Решение.

Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления:

, ,

Согласно формулам для коэффициентов прямых затрат , вычислим:

;

;

.

В результате получаем матрицу коэффициентов прямых затрат:

.

Требования к неотрицательности элементов всех матриц выполнены: неотрицателен;неотрицателен;A– из неотрицательных элементов.

Проверим, что матрица Aудовлетворяет второму критерию продуктивности, т.е. найдем суммы ее элементов по всем строчкам и столбцам соответственно.

0,05 + 0,35 + 0,4 = 0,8 < 1;

0,1 + 0,1 + 0,4 = 0,6 < 1;

0,2 + 0,1 + 0,2 = 0,5 < 1;

0,05 + 0,15 + 0,2 = 0,4 < 1;

0,35 + 0,1 + 0,1 = 0,55 < 1;

0,4 + 0,4 + 0,2 = 1.

Поскольку сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы и хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы, то второй критерий выполнен.

Для проверки первого критерия продуктивности найдем матрицу , это есть матрица полных затрат.

1. По условию: ;;

.

2. Найдем определитель этой матрицы, разложив по первой строке:

3. Вычисляем алгебраические дополнения.

,

,

,

,

,

,

.

В результате вычислений, по формуле обратной матрицы, составим матрицу полных затрат (для вычислений обратной матрицы можно использовать функции программы EXCEL, см.приложение 2):

.

Поскольку существует обратная матрица и ее элементы неотрицательны, то и первый критерий продуктивности выполнен.

Вывод.Все условия продуктивности выполнены. Следовательно, существует и единственное решение уравнения

Компоненты неизвестногоможно найти из системы уравнений, которая имеет вид:

Новый вектор конечного продукта должен иметь вид:

.

Новое значение валового выпуска находим по формуле

.

Ответ:чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта сдо, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски:

добычу и переработку углеводородов со 100 до 152,14, то есть на 52,14%,

уровень энергетики со 100 до 135,8, то есть на 35,8%,

выпуск машиностроения с 50 до 92,51, то есть на 42,51%.